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Sujet National n° 1

Jean Barbier

Thème : ARITHMETIQUE

Série concernée : TOUTES SERIES

Enoncé

Partie A : Questions préliminaires
On considère trois entiers deux à deux distincts et compris entre 1 et 9.

  1. Quelle est la plus petite valeur possible pour leur somme ?
  2. Quelle est la plus grande valeur possible pour leur somme ?

Partie B : Les triangles magiques
On place tous les nombres entiers de 1 à 9 dans les neuf cases situées sur le pourtour d’un triangle, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Si les sommes des quatre nombres situés sur chacun des trois côtés du triangle ont la même valeur, on dit que le triangle est S-magique.
(C’est-à-dire si
$n_1+n_2+n_3+n_4=n_4+n_5+n_6+n_7=n_7+n_8+n_9+n_1=S$) On se propose de déterminer toutes les valeurs possibles de $S$.

  1. Compléter le triangle suivant de sorte qu’il soit 20-magique, c’est-à-dire $S$ -magique de somme $S=20$.
  2.  

     

  3. On considère un triangle $S$-magique et on appelle la somme des nombres placés sur les trois sommets.
    1. Prouver qu’on a $45+T=3S$.
    2. Prouver qu’on a $17 \leqslant S \leqslant 23$.
    3. Donner la liste des couples $(S,T)$ ainsi envisageables.
  4. Proposer un triangle $17$-magique.
  5. Prouver qu’il n’existe pas de triangle $18$-magique.
    1. Montrer que dans un triangle $19$-magique, 7 est nécessairement situé sur un sommet du triangle.
    2. Proposer un triangle $19$-magique.
  6. Prouver que, s’il existe un triangle $S$-magique, alors il existe aussi un triangle $(40-S)$-magique.
  7. Pour quelles valeurs de $S$ existe-t-il au moins un triangle $S$-magique ?
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