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Sujet National n° 1

Jean Barbier

Thème : ARITHMETIQUE

Série concernée : TOUTES SERIES

Enoncé

Partie A : Questions préliminaires
On considère trois entiers deux à deux distincts et compris entre 1 et 9.

  1. Quelle est la plus petite valeur possible pour leur somme ?
  2. Quelle est la plus grande valeur possible pour leur somme ?

Partie B : Les triangles magiques
On place tous les nombres entiers de 1 à 9 dans les neuf cases situées sur le pourtour d’un triangle, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Si les sommes des quatre nombres situés sur chacun des trois côtés du triangle ont la même valeur, on dit que le triangle est S-magique.
(C’est-à-dire si
n_1+n_2+n_3+n_4=n_4+n_5+n_6+n_7=n_7+n_8+n_9+n_1=S) On se propose de déterminer toutes les valeurs possibles de S.

  1. Compléter le triangle suivant de sorte qu’il soit 20-magique, c’est-à-dire S -magique de somme S=20.
  2.  

     

  3. On considère un triangle S-magique et on appelle la somme des nombres placés sur les trois sommets.
    1. Prouver qu’on a 45+T=3S.
    2. Prouver qu’on a 17 \leqslant S \leqslant 23.
    3. Donner la liste des couples (S,T) ainsi envisageables.
  4. Proposer un triangle 17-magique.
  5. Prouver qu’il n’existe pas de triangle 18-magique.
    1. Montrer que dans un triangle 19-magique, 7 est nécessairement situé sur un sommet du triangle.
    2. Proposer un triangle 19-magique.
  6. Prouver que, s’il existe un triangle S-magique, alors il existe aussi un triangle (40-S)-magique.
  7. Pour quelles valeurs de S existe-t-il au moins un triangle S-magique ?
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