Sujet National n° 1

Thème : ARITHMETIQUE

Série concernée : TOUTES SERIES

Enoncé

Partie A : Questions préliminaires
On considère trois entiers deux à deux distincts et compris entre 1 et 9.

  1. Quelle est la plus petite valeur possible pour leur somme ?
  2. Quelle est la plus grande valeur possible pour leur somme ?

Partie B : Les triangles magiques
On place tous les nombres entiers de 1 à 9 dans les neuf cases situées sur le pourtour d’un triangle, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Si les sommes des quatre nombres situés sur chacun des trois côtés du triangle ont la même valeur, on dit que le triangle est S-magique.
(C’est-à-dire si
\(n_1+n_2+n_3+n_4=n_4+n_5+n_6+n_7=n_7+n_8+n_9+n_1=S\))
On se propose de déterminer toutes les valeurs possibles de \(S\).

  1. Compléter le triangle suivant de sorte qu’il soit 20-magique, c’est-à-dire \(S\) -magique de somme \(S=20\).
  2.  

     

  3. On considère un triangle \(S\)-magique et on appelle la somme des nombres placés sur les trois sommets.
    1. Prouver qu’on a \(45+T=3S\).
    2. Prouver qu’on a \(17 \leqslant S \leqslant 23\).
    3. Donner la liste des couples \((S,T)\) ainsi envisageables.
  4. Proposer un triangle \(17\)-magique.
  5. Prouver qu’il n’existe pas de triangle \(18\)-magique.
    1. Montrer que dans un triangle \(19\)-magique, 7 est nécessairement situé sur un sommet du triangle.
    2. Proposer un triangle \(19\)-magique.
  6. Prouver que, s’il existe un triangle \(S\)-magique, alors il existe aussi un triangle \((40-S)\)-magique.
  7. Pour quelles valeurs de \(S\) existe-t-il au moins un triangle \(S\)-magique ?
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