Expérimentation informatique
On considère l’hyperbole équilatère \(H\) d’équation \(y=\frac{1}{x}\), la rotation \(r\) de centre \(O\), d’angle \(-\dfrac{\pi}{4}\) et la transformation du plan complexe privé de l’origine : \(z\mapsto z’=\dfrac{1}{\bar{z}}\).
Les justifications de votre travail peuvent être apportées par tous les moyens à votre disposition…

Commentaire : ce TP a été fait en trois temps avec une TS de 32 élèves de niveau « normal ».

- classe entière 1 heure : explications sur le fonctionnement d’Excel, compléments mathématiques ;

- 1/2 groupe salle info 1 heure : manipulation d’Excel, tracé de courbes ;

- 1/2 groupe salle info 1 heure : réalisation du TP.

Hyperboles
a. Tracer \(H\) dans la fenêtre .
b. Tracer la courbe \(H’=f(H)\). Montrer que si \(M’(x’, y’)\) est un point de \(H’\) alors où est une constante à déterminer.
c. On pose pour tout \(t\) réel tel que \(\cos t\) ne soit pas nul, . Quelle est la valeur de la constante \(k\) ?

Commentaire : le premier groupe a fait cette partie avec quelques difficultés. Tous ont utilisé Excel.

Lemniscate
Soit la courbe , ensemble des points \(M(x, y)\) du plan tels que , .
a. Par quelle transformation simple passe-t-on de \(H\) à \(H’\) ?
b. Soit \(N\) d’affixe d’image par \(f\) : \(N’\) d’affixe . Vérifier que .
c. Tracer l’image par \(f\) de . On note \(L\) cette courbe qui est donc l’image de \(H\) par une succession de transformations.
d. Soit \(T\) une tangente à \(H\) en un point quelconque. L’image de \(T\) par les transformations précédentes devient-elle une tangente à \(L\) ?
e. Soit \(ABC\) un triangle constitué de trois points non alignés de , \(A’B’C’\) son triangle image sur \(L\). Comparer les angles de ces deux triangles. Constatation ?
f. De même comparer les longueurs des côtés des deux triangles. Constatation ?

Commentaire : j’ai donné au deuxième groupe le fichier Excel avec la première partie et ils ont travaillé sur celle-ci. Globalement on s’aperçoit qu’il faut une formation beaucoup plus en amont… Les difficultés rencontrées étant essentiellement techniques.

Aires
a. On veut calculer l’aire comprise entre \(H\), l’axe \((OX)\) les droites \(x=1\) et \(x=5\). À l’aide de ce que vous avez fait en 1. que suggérez-vous sans calculer d’intégrale.
b. Même question pour la longueur de la portion de \(H\) comprise entre \(x=1\) et \(x=5\).
c. Pouvez-vous donner une valeur approchée de la longueur totale de \(L\) ?

Commentaire : sera fait en classe ultérieurement.