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  APMEP   Topologie élémentaire pour la licence de mathématiques.

Article du bulletin 502

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Paul Louis Hennequin

- 3 février 2013 -

par Léonard Todjihounde.

Cépaduès, janvier 2012.

194 p. en 14,5 x 20,5.

ISBN 978 2 85428 993 0, Prix : 20€.

La topologie en tant que branche autonome s’est développée au début du XX° siècle ; en France, les deux premiers chapitres que Nicolas Bourbaki lui consacre paraissent en des heures tragiques, respectivement le 20 mai 1940 et le 29 avril 1942. Son apparition en licence remonte aux années 50 et à la parution du cours et du livre de Gustave Choquet. Aujourd’hui sa place dans l’enseignement universitaire de licence est suffisamment importante pour que Cépaduès lui consacre, outre le présent ouvrage, un volume dans la collection Bien débuter en mathématiques, et deux dans la collection Bien maîtriser les mathématiques.
Ce livre, destiné aux étudiants de licence et de classes préparatoires, comprend successivement  :

  • 1) Espaces métriques et topologiques (ouverts, voisinages, fermés, adhérence, suites dans un espace métrique, espaces métriques complets, applications continues, topologie produit, topologie quotient).
  • 2) Espaces compacts (Espaces topologiques compacts, espaces métriques compacts).
  • 3) Espaces connexes (Espaces topologiques connexes, espaces métriques connexes).
  • 4) Espaces vectoriels normés (Espaces de Banach, applications linéaires continues, espaces de dimension finie).
  • 5) Espaces de Hilbert (Espaces pré hilbertiens, projection orthogonale, dual topologique, bases hilbertiennes, polynômes orthogonaux). 6) Espaces topologiques particuliers (Groupes topologiques, tores et espaces projectifs).

Chaque chapitre comprend une douzaine d’exercices avec de rares indications pour leur solution, ce qui laisse au lecteur une grande marge d’initiative ; les uns sont des applications directes du cours, et réduits à une ou deux questions, les autres proposent une démarche conduisant en quelques étapes à un résultat utile ; malheureusement les énoncés comportent quelques coquilles qui peuvent entraver une démarche de résolution.

D’une facture très classique : définitions, propositions, théorèmes, corollaires, preuves, cet ouvrage accroche le lecteur et lui ouvre des horizons par des remarques, des exemples et des contre-exemples.

Sa lecture aidera donc un agrégatif à bien rédiger la solution d’un problème ou la présentation d’une leçon, un capessien à rassembler des connaissances de base et un enseignant à retrouver un résultat de référence.

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