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  APMEP   Topologie et continuité

Article du bulletin 521

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Une approche mathématique et philosophique.

Marc Roux

par Salomon Ofman.

L’Harmattan, 2016.

364 pages en 15,5 x 24. 35 €

ISBN : 978-2-343-08714-6.

Cet ouvrage, issu d’un « cours donné à des étudiants n’ayant pas ou peu de formation mathématique », veut « initier un lecteur non-mathématicien au raisonnement mathématique, à sa rigueur », ainsi que « montrer que les questions mathématiques les plus abstraites se retrouvent un peu partout en philosophie ».

Sa structure est la suivante :
- Avant-propos et indications d’usage
- Introduction générale
- Première partie. Théorie des ensembles (9 chapitres).
- Deuxième partie. Topologie (8 chapitres).
- Rappels de cours (Première partie)
- Exercices (classés par partie et par chapitre)
- Questions d’examen
- Annexes (15 textes, de Platon, Bertrand Russell, L. Brunschvicg, Euclide, l’auteur).

Les caractéristiques les plus frappantes de cet ouvrage sont : le souci de rigueur, la minutie des démonstrations ; la complexité des notations  ; le souci de pédagogie, à travers les très nombreux paragraphes intitulés « Attention  ». L’auteur a délibérément choisi de se passer des réels et de ne travailler que dans l’ensemble des rationnels. Les commentaires philosophiques sont plus ou moins fréquents selon les chapitres.

Les exercices sont originaux, ils requièrent des prises d’initiatives (recherche de contre exemples...).

Ce livre n’est pas sans défauts, au premier rang desquels les innombrables coquilles, dont certaines nuisent à la compréhension (ainsi, page 16, « on n’essaiera… » doit se lire « on essaiera… » !). « On préfèrera toujours la lourdeur à l’ambiguïté » écrit l’auteur  : il tient parole ! Ainsi il consacre plusieurs pages à montrer qu’application « au sens usuel » et « au sens ensembliste » (définie par son graphe, partie de A x B) peuvent être identifiées. Le choix des notations n’est pas toujours conforme à l’intuition : alors que P(A) désigne, classiquement, l’ensemble des parties de A, $P_f $ n’est pas un ensemble, mais une application de P(A) dans P(B) (déterminée par f : A -> B). Le choix des exemples est limité : l’espace topologique considéré est toujours Q, ou $Q^2$, ou un ensemble de deux ou trois éléments.

D’autre part, qui sont les étudiants visés : discipline principale de leurs études ? Niveau licence ou master ? Le savoir aiderait à apprécier l’adéquation du contenu.

Mais ma principale déception, je dirai même frustration, provient du sous-titre : la part de la philosophie reste ici réduite, elle paraît « plaquée », par petites touches, sur le contenu mathématique, et pas toujours là où on l’attendait : ainsi alors qu’il existe un chapitre « Limite, point à l’infini », nulle part n’est évoquée la distinction infini actuel/infini potentiel ; non abordée non plus la notion de vérité, pourtant indissociable de celle d’axiomatique ; ni la distinction entre contraposition et raisonnement par l’absurde…

Enfin on peut déplorer l’absence des corrigés des exercices, qui montrerait ce qu’on attend des étudiants, ainsi que d’un index, qui serait bien utile pour retrouver notations et définitions.

Tel qu’il est, ce livre est néanmoins un outil original et efficace pour qui veut aller au fond de la chose topologique en particulier et mathématique en général ; au lecteur qui a une formation mathématique, il fera prendre conscience des non-dits, abus de langage et autres ellipses que nous pratiquons plus ou moins consciemment. Et les exercices, nombreux, intéressants et originaux, sont à utiliser sans modération.

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