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  APMEP   Une visualisation du fait que les lois exponentielles sont sans vieillissement.

Article du bulletin 468

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- mars 2007 -

Jean-François Kentzel [1]

Je pensais bien connaître la fonction exponentielle (représentée ci-contre sur l’intervalle $[−4 ; 3]$). Certains lecteurs souriront de mon ignorance mais j’avoue avoir été surpris par les représentations graphiques de cette fonction qui suivent (représentations données par un tableur qui choisit par défaut les échelles pour donner un dessin lisible). 18-Kentzel1bis

Chacun peut voir qu’il s’agit, à l’échelle près, de la même courbe. On passe en effet de la première courbe à la deuxième en multipliant toutes les ordonnées par $\mathrm{e}^5$. Tout est dit ; ce qui suit n’est qu’une mise en forme de cette observation.

Plus généralement, le plan étant muni d’un repère orthogonal $ (O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ et $k$ et $\lambda$ étant des constantes non nulles, la représentation graphique d’une fonction du type $f$ : $x\longmapsto k.\mathrm{e}^{\lambda x}$ a « partout la même allure », affirmation qu’il est nécessaire de formaliser car elle n’a a priori guère de sens : précisément, si on fixe un réel positif $t$, alors quels que soient les réels positifs $s$ et $s'$, si on désigne par C et C’ les représentations graphiques des restrictions de $f$ aux intervalles de même longueur $[s ; s + t]$ et $[s' ; s' + t]$, il est immédiat qu’on passe de C à C’ en faisant opérer une translation (de vecteur $(s' − s)\vec{\imath}$ suivie d’une affinité, de base $(O,\vec{\imath})$, parallèlement à $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ et de rapport $\mathrm{e}^{\lambda(s'-s)}$ (c’est-à-dire d’une application envoyant $M (x ; y)$ sur $M' (x ; \mathrm{e}^{\lambda(s'-s)}y)$.

Ce qui suit est détaillé de façon à être accessible à des élèves dans l’annexe 4 (qui est téléchargeable).

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[1] Lycée Pardailhan à Auch-32. Adresse : JKentzel@ac-toulouse.fr


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