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  APMEP   Visualiser la quatrième dimension

Article du bulletin 443

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Paul Louis Hennequin

par François Lo Jacomo.

Éditions Vuibert, mai 2002.

ISBN : 2 717 5315 8. 128 pages.

On ne présente pas François Lo Jacomo aux lecteurs du Bulletin vert : il anime depuis février 1992 la rubrique des problèmes et est un spécialiste reconnu des énoncés de compétition. Mais c’est aussi un chercheur en linguistique qui s’intéresse aux sciences cognitives.

Dans cet ouvrage, il se propose de visualiser pour faire étudier et admirer des objets mathématiques de dimension 4 grâce à de très nombreuses figures réalisées par Daniel Muller avec le logiciel Geospace développé par le CNAM et le CRDP de Reims.

Le premier chapitre est consacré au problème du miroir (cf. dans ce numéro, la rubrique « Avis de recherche », p. 793) suivant les quatre points de vue du linguiste, du physicien, du philosophe et du cognitiviste et souligne l’identité de construction des concepts, qu’ils soient ou non mathématiques.

L’hypercube (16 sommets, 32 arêtes, 24 faces et 8 « cellules » cubiques) est ensuite défini comme le cube peut l’être à partir du carré, ainsi que ses diverses représentations ; on observe les deux tétraèdres obtenus en gardant un sommet sur deux d’un cube, d’où la division de l’hypercube en deux demi-hypercubes, puis les sections diagonales du cube et de l’hypercube.

Le dual d’un hypercube est un hyperoctaèdre (8 sommets, 24 arêtes, 32 faces et 16 cellules), cet hyperoctaèdre s’identifiant d’ailleurs à un demi-hypercube.

On passe de là à l’hypergranatoèdre (24 sommets et cellules, 96 arêtes et faces). Pour progresser, il faut introduire les groupes finis ainsi que le corps des quaternions.

Le dernier chapitre est consacré à deux monstres : l’hypericosaèdre (120 sommets et 720 arêtes) et l’hyperdodécaèdre (600 sommets et 1200 arêtes). L’ouvrage se termine par un tableau récapitulatif et un glossaire qui facilitera considérablement la lecture par un non spécialiste.

En résumé, un texte foisonnant, mine d’idées et de pistes pour entreprendre un T.P.E. ou pour réaliser des animations de ces objets de rêve.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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