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  APMEP   Voyages en mathématiques.

Article du bulletin 507

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Paul Louis Hennequin

- 30 janvier 2014 -

Sous ce titre, les éditions Le Pommier lancent une nouvelle collection qui s’adresse à tous les amoureux de mathématiques et qui est dirigée par Aurélien Alvarez.
Chacun des dix chapitres reprend un article du site Images des mathématiques (images.math. cnrs.fr) rédigé par des chercheurs soucieux de présenter la recherche mathématique et le métier de mathématicien à tous les citoyens tout en restant accessibles au plus grand nombre. Chaque volume invite le lecteur à gravir quelques pentes plus ou moins escarpées pour gagner de douces vallées. Les chapitres sont largement indépendants mais reliés par un fil rouge. Les notes et références rassemblées en fin de chapitre permettent à ceux qui le souhaitent d’aller plus loin. Les auteurs soumettent leur texte au comité de rédaction qui les aide grâce à de nombreux relecteurs à perfectionner leur contribution. Il en résulte des textes d’une grande qualité qui sont illustrés de magnifiques photos et, sur le site, d’animations en couleur ; les références historiques sont précises et émaillées d’anecdotes savoureuses.

Voici les deux premiers volumes :

Géométrie et topologie avec Thurston,

Le Pommier, octobre 2013.

160 p. en 14,5x 22. Prix : 19 €.

ISBN : 978-2-7465-0708-1.

Cet ouvrage est dédié à William Thurston (1946-2012), médaillé Fields en 1982 pour avoir révolutionné la topologie en dimension 2 et 3 et fait avancer topologie et géométrie.

Détaillons son contenu :

  • 1) Étienne Ghys, William Thurston : clarté et compréhension. L’apport des mathématiques à la compréhension du monde une nouvelle façon de communiquer sur les mathématiques. La conception des mathématiques de Thurston : les révolutions sont importantes mais elles sont rares et dépendent largement de la communauté des mathématiciens.
  • 2) Christian Mercat, De beaux entrelacs. Épatez vos amis gothiques. Des objets bien concrets de la vie quotidienne, un thème qui fascine les jeunes aujourd’hui et qui peut être exploité dès le collège.
  • 3) Luis Paris, Les tresses : de la topologie à la cryptographie. Des tresses aux noeuds ; des tresse aux mots. Décidabilité. Cryptosystèmes basés sur les tresses.
  • 4) Patrick Popescu-Pampu, La bande que « tout le monde connaît ». Apparition en 1858 (Listing, Möbius) ; construction ; relations avec l’environnement ; découpages. La bande dans les mathématiques contemporaines.
  • 5) Julien Marché, Triangulations : de la Terre au nœud de trèfle. Construire et classer toutes les surfaces possibles. un tour de magie de Thurston : la triangulation de l’extérieur du noeud de trèfle. Cette construction fait l’objet d’une animation dans la version en ligne.
  • 6) Étienne Ghys, Les images comme symboles mathématiques. un débat entre ceux qui pensent comme Dieudonné qu’ « il serait désirable de libérer l’élève dès que possible de la camisole de force des figures traditionnelles en en parlant le moins possible » et ceux qui avec Hilbert ne « pourraient se passer de l’utilisation de formules graphiques », débat qui est d’actualité à la fois par la place de l’image dans notre société et par les possibilités extraordinaires des logiciels de création graphique.
  • 7) Jos Leys, Une chambre hyperbolique. Comment un musée des sciences pourrait-il, grâce à un assemblage de miroirs cylindriques, donner aux visiteurs une idée concrète de la géométrie hyperbolique ? Pavages et polyèdres hyperboliques.
  • 8) Étienne Ghys, Géométriser l’espace : de Gauss à Perelman, le théorème d’uniformisation a cent ans ! L’histoire simplifiée de la « conjecture de géométrisation de Thurston » dont la preuve valut au mathématicien russe Grigori Perelman en 2006 une médaille Fields qu’il refusa. Hipparque et Ptolémée (représenter le ciel étoilé sur un plan. Gauss (représentation conforme). Riemann et ses surfaces. Gauss encore (le plan hyperbolique). Poincaré (théorème d’uniformisation). Thurston (tout espace de dimension 3 peut être muni d’une métrique localement isométrique à l’une des huit géométries de Thurston).
  • 9) Patrick Massot, La conjecture de Poincaré. un résultat pressenti il y a un siècle, l’un des sept objets d’un prix d’un million de dollars offert par la fondation Clay, démontré en 2003 par Grigori Perelman. Propriétés géométriques et topologiques des variétés de dimension 3.
  • 10) Arnaud Chéritat et Tan Lei, Si nous faisions danser les racines ? Quelques observations sur le théorème de Gauss (1836) et Lucas (1874) qui affirme que l’enveloppe convexe des racines de tout polynôme P contient les racines du polynôme dérivé P’ (la version en ligne de l’article dispose d’une animation qui permet de déplacer les racines). une généralisation due à Thurston et des idées de démonstrations géométriques.

Systèmes dynamiques avec Poincaré,

Le Pommier, octobre 2013,

160 p. en 14,5 x 22. Prix : 17€.

ISBN : 978-2-7465-0707-4.

2012 étant l’année du centenaire de la mort d’Henri Poincaré, il était normal que la collection lui consacre un volume éclairant alternativement les facettes étincelantes de sa personnalité et de son œuvre.

  • 1) Laurent Rollet, Des mathématiciens dans l’affaire Dreyfus  ? Autoforgerie, bertillonnage et calcul des probabilités. Intervention dans l’ « Affaire » des mathématiciens français Andrade, Boutroux, Duhem, Hadamard, Hermite, Humbert, Jordan , Painlevé, et surtout analyse scientifique du bordereau par Poincaré, Darboux et Appell, condamnant sans appel les calculs de Bertillon.
  • 2) Marie Lhuissier, Quand les matheux jouent au billard. Billards circulaires et elliptiques. Théorème de Poncelet sur les retours à l’origine. Le principe de dualité. La distance hyperbolique,.
  • 3) Frédéric Le Roux, Le lemme des mariages. Formulé par Hall en 1935, ce lemme donne une condition nécessaire et suffisante, pour que dans une société strictement monogame où tous les mariages sont décidés par un organisme central, il soit possible de marier tout le monde.
    Démonstrations matrimoniale et ensembliste. une famille d’applications quadratiques préservant les aires. Lien entre systèmes dynamiques topologiques et théorie ergodique.
  • 4) Marie-Claude Arnaud et Patrick Massot, L’anneau d’Henri Poincaré. La démonstration inachevée d’un théorème sur les transformations continues d’un anneau (au sens topologique). Le problème restreint des trois corps. Recherches actuelles en topologie symplectique.
  • 5) Aurélien Alvarez et Jean-Christophe Yoccoz, Systèmes dynamiques et billards. Tables circulaire, elliptique, rectangulaire, en L, un billard dispersif.
  • 6) Laurent Rollet, Génie et névropathie : le cas d’Henri Poincaré. L’ « enquête médicopsychologique sur la supériorité intellectuelle  », plus de 200 pages du psychologue et médecin Édouard Toulouse sur l’ensemble des tests effectués dans les années 1890 sur Henri Poincaré « névropathe de génie ».
  • 7) François Béguin, Le théorème de récurrence de Poincaré. La danse des planètes. Les ellipses de Kepler. Que Newton soit ! Le germe de l’instabilité. Le siècle des lumières. Que Poincaré soit ! Naissance de la théorie ergodique. De la stabilité du système solaire aux nombres premiers.
  • 8) Étienne Ghys, L’histoire mouvementée des cycles limites. Proies et prédateurs. Le « mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle ». Comportement d’une équation. Le 16e problème de Hilbert et les multiples rebondissements de son histoire.
  • 9) Michèle Audin et Arnaud Chéritat, Un ensemble-limite. une figure dessinée à la main en 1897 et la même construite avec un ordinateur aujourd’hui ; figure obtenue par des inversions successives en partant de cinq cercles tangents chacun à deux ou trois autres.
  • 10) Étienne Ghys, Le mathématicien et le poète. En 1883, l’académicien Sully Prudhomme recommande à l’examinateur de mathématiques au baccalauréat Henri Poincaré un jeune et timide candidat qui souhaite entrer à Polytechnique… 26 ans plus tard Henri Poincaré entre à l’Académie française où il occupe le fauteuil de Sully Prudhomme !

On le voit deux livres très riches par la variété des animations, des éclairages et des points de vue, par la solidité mathématique de l’édifice et dont la lecture enchantera un large public.

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