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  APMEP   exercices de-ci de-là du BV 475

Article du bulletin 475

et solutions des 473-3, 473-4 et 474-4

- 16 juillet 2012 -

par Serge Parpay

Exercices

Exercice 475-1 (C.D. Olds. Continued fractions (1963))

1) Décomposer 433 en une somme de deux carrés.
2) Soit deux détachements de soldats, chacun de ces détachements formant un carré de b rangs de b soldats. Montrez qu’il est impossible de former avec les deux carrés un unique carré de soldats.

Montrer que, si un soldat est ajouté ou enlevé à l’un des deux carrés, il est parfois possible que les deux détachements soient regroupés en un seul carré de soldats.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 475-2 (Olympiades suédoises 1961 - 1968. [Document SMF])

Soient $x_i, y_i,$ (i = 1, 2, …, n), des nombres réels tels que $x_1 \ge x_2 \ge ... \ge x_n$ et $y_1 \ge y_2 \ge ... \ge y_n$.
Soit $z_1, z_2, ... , z_n$ une permutation arbitraire des nombres $y_1, y_2, ... y_n$.

Démontrer l’inégalité $\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^n (x_i-z_i)^2$

Exercice 475-3 (Miguel Amengual Covas - Mallorca)

Sean P, Q, R, S los respectives puntos medios de los lados [AB], [BC], [CD], [DA] de un cuadrilátero ABCD convexo.
Sea O el punto de intersección de (PR) y (QS).
Si OA = OC y OB = OD, demostrar que ABCD es un paralelogramo.

Solutions

Exercice 473-3 (Raymond Raynaud - Digne)

Soit deux triangles du plan ABC et A’B’C’.
Si les perpendiculaires menées des points A, B, C respectivement sur les droites (B’C’), (C’A’) et (A’B’) sont concourantes, en est-il de même des perpendiculaires menées respectivement des points A’, B’, C’ sur les droites (BC), (CA) et (AB) ?

Solution de Richard Beczkowsky (Châlon-sur-Saône)
Solution de Pierre Renfer (Ostwald)

Autres solutions : Jacques Chayé (Poitiers), René Manzoni (Le Havre), Raymond Raynaud (Digne).

Exercice 473-4 (Michel Lafond - Dijon)

Dans le plan, un triangle ABC a une aire de 1 344 m². Un point P du plan vérifie PA = 25 m, PB = 33 m et PC = 39 m.
Calculer les côtés du triangle ABC.

Solution de l’auteur

Autres solutions : Maurice Bauval (Versailles), Richard Beczkowsky (Châlons-sur-Saône), Christine Feroglio (Lyon), René Manzoni (Le Havre), Pierre Renfer (Ostwald).

Exercice 474-4 (Serge Parpay - Niort)

Petits exercices pour amateurs :
a) Trouver un entier de quatre chiffres, carré parfait, sachant que l’entier que l’on obtient en augmentant chacun des chiffres d’une unité est encore un carré parfait.
b) Trouver un entier de quatre chiffres, carré parfait, sachant que les deux chiffres de gauche sont égaux et que les deux chiffres de droite sont égaux.

Arithmétique – Maillard et Millet – Terminale C 1954

Solution de Alain Corre (Moulins)

Autres solutions : Robert Bourdon (Tourgeville), Pierre Samuel (Bourg-la-Reine).

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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