Une droite \(AB\), de longueur \(a\), est divisée en trois parties égales par les points \(C\) et \(D\). Sur \(AB\) comme diamètre, on décrit une circonférence sur laquelle on prend un point quelconque \(M\). On mène \(MC=x\) et \(MD=y\). On demande : De prouver que : \(x^2+y^2=\dfrac59a^2\) De calculer \(x\) et \(y\) sachant que l’angle \(\widehatCMD\) est égal à \(\dfrac\pi8\).

Besançon, Série C
Un point \(A\) se meut sur une ligne droite \(Ox\) et l’espace \(e\) parcouru sur cette droite à partir du point \(O\) et au bout du temps est donné par la formule :
$$e=4t-3t^2.$$ On demande les expressions de la vitesse et de l’accélération. Au bout de quel temps le point \(A\) s’arrête-t-il pour rétrograder et après avoir parcouru quel espace ? Quelle est alors son accélération ? Au bout de quel temps le point \(A\) repasse-t-il au point \(O\) ? Quelle est alors sa vitesse et (...)

On donne une sphère de rayon \(R\) ayant pour grand cercle le cercle \(O\), et dans le plan du cercle un point fixe \(A\) à l’intérieur de ce cercle (\(OA=a\)). Par le point \(A\) on mène un plan perpendiculaire au plan de la figure et dont la trace est la corde \(BD\). Ce plan coupe la sphère suivant un cercle \(\cal C\). On considère le cône ayant pour base le cercle \(\cal C\) et pour sommet un point fixe \(S\) pris sur \(OA\) (\(OS=b\)). Exprimer le volume du cône en fonction de l’angle (...)

Soit un triangle \(ABC\) isocèle ; soit \(b\) la longueur des côtés égaux \(AB\) et \(AC\). On demande : De calculer en fonction de \(b\) et des lignes trigonométriques de l’angle \(B\), le rayon \(R\) du cercle circonscrit au triangle, le rayon \(r\), le périmètre et la surface du cercle inscrit ; D’exprimer en fonction de \(\cos B\) seul, le rapport \(\dfracrR\). D’exprimer \(\cos B\) de manière que ce rapport soit égal à une valeur donnée \(k\) ; de dire entre quelles limites doit être compris \(k\) (...)

Arithmétique et Algèbre $n$ étant un nombre entier positif, on considère la fraction :
$$\fracn^2-n+41n^2+n+17$$ Comparer, suivant les valeurs de $n$, cette fraction au nombre 1 puis au nombre 3. Montrer que la fraction se simplifie quand le reste de la division de $n$ par 173 est égal à 12. $x$ étant un nombre algébrique, qui peut prendre toutes les valeurs possibles, on considère l’expression :
$$y=\fracx^2-x+41x^2+x+17$$ Les valeurs de $x$ pour lesquelles $y$ est égal à un nombre donné $b$ sont (...)