Exercices Exercice 468-1 (Jean-Christophe Laugier - Rochefort) – Corol’aire n° 65
Déterminer des entiers A et B tels que A / B = 0,2006… avec B minimal.
voir l’article où est publiée la solution
Exercice 468-2 (Jacques Bouteloup - Rouen)
On considère un cercle (C), un diamètre [AB], une corde [CD] parallèle à [AB], et un point M de la droite (AB) (et non du segment [AB]) ; (MC) et (MD) recoupent (C) en E et F ; la perpendiculaire en M à (AB) coupe (CD) et (EF) en H et K.
1) Démontrer que M est le (...)

Exercices Exercice 506 - 1 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach. Une duplication du cube sur une idée de Claude Comiers
Le triangle ABC est rectangle en C, d’hypoténuse AB double du côté BC et de milieu D. Une droite issue de A coupe la demi - droite [CB) en F et le cercle de diamètre [AB] en E tels que AD = DE = EF.
Démontrer que $BF^3 = 2BC^3$.
voir l’article où est publiée une solution
Exercice 506 - 2 Marie-Nicole Gras – Le Bourg d’Oisans d’après les Olympiades suédoises (...)

Exercices
Exercice 494-1 (Daniel Riesz - Auxerre) A proposer à nos élèves de collège Un rectangle ABCD a pour largeur AB = 4 et contient trois cercles tangents entre eux et aux cotés du rectangle comme indiqué sur la figure ci-contre. Quelle est sa longueur ?
voir l’article où est publiée la solution
Exercice 494-2 (Ali Akir – Tunis) Trouver le terme général de la suite u dans chacun des cas suivants : a) $p \in \mathbb N$ ; u est définie sur $\mathbb N$ par $\beginequation* \left~(...)

Errata de l’énoncé de l’exercice 484-3
L’équation correcte est $3x^2 − 8y^2 + 3x^2 y^2 = 2008$ et non pas $3x^2 + 8y^2 + 3x^2 y^2 = 2008$.
Avec toutes mes excuses pour cette faute de frappe. Cette erreur avait été repérée trop tardivement pour être rectifiée avant la publication du BV. Elle a été signalée sur le site de l’APMEP dès la parution du no 484.
Pour me faire pardonner, je vous livre la récréation suivante que certainement beaucoup d’entre vous connaissent déjà, mais que j’ai (...)

Exercices
Exercice 491-1 (Daniel Reisz – Auxerre) (exercice d’algèbre proposé à l’Université de Cambridge en 1877)
Trois Hollandais de mes amis, Henri, Nicolas et Corneille, récemment mariés, sont venus me faire une visite avec leurs femmes Gertrude, Catherine et Anna, mais j’ai oublié le nom de la femme de chacun en particulier. Ils m’ont dit qu’ils avaient été acheter des cochons au marché. Chacun d’eux en a acheté autant que le prix qu’il a payé pour un cochon. Henri a acheté 23 cochons de plus que (...)

Exercices Exercice 505 - 1 Jean-Yves Hély – Rennes issu du Baccalauréat séries scientifiques, Lyon 19.. ( ?) _ Étant donné sur une circonférence dont le centre est O, un arc BC, du milieu A de cet arc, on mène les deux autres sécantes AFD et AGE.
Démontrer que l’on a $FE \times DG = DF \times GE + FG \times DE.$
voir l’article où est publiée une solution
Exercice 505 - 2 Jean-Pierre Friedelmeyer – Strasbourg Trouver toutes les paires de fractions $\left\ \fracpq, \fracrs \right\$, avec p, q, r, s (...)

Exercices Le thème du dossier de ce numéro 504 m’a incité à vous proposer des exercices de-ci, de là-bas. Le niveau ne dépasse pas la fin de notre secondaire et à ce titre les exercices doivent pouvoir être proposés à nos élèves. Les notations, inhabituelles, se comprennent aisément. Il en va relativement de même du texte…
Ne parlant couramment ni la langue de Goethe ni celle de Cervantès, quand j’ai vraiment été pris à défaut, le pourtant très mauvais traducteur de Google a suffi à me faire (...)

Exercices Exercice 503-1 Daniel Reisz-Auxerre $2^\left[ (5/2)^2/5 \right]$ n’est certes pas égal à e, mais … il s’en faut de moins d’un cent millième comme le montre le logiciel Maxima : Est-ce là pur hasard ou y a-t-il une explication ?.
voir l’article où est publiée la solution
Exercice 503-2 proposé par l’équipeMayhem de la revue canadienne Crux Mathematicarum Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l’ensemble $\mathcal E$ des points de coordonnées (x ; y) qui (...)

Exercices
Exercice 502-1 à proposer à nos élèves
A. Puzzle : d’un rectangle à un carré Le principe est celui d’un découpage en escalier comme le montre la figure ci-dessous. a) Découper en deux morceaux un rectangle de 16,2 cm de long sur 12,8 cm de large pour en faire un carré. b) Indiquer comment l’on découperait un rectangle de 8192 sur 7938.
B. Balance de Rob……erval énigme proposée par Sam Loyd Si une pyramide pèse une livre, combien pèsent les huit cubes ?
C. Tangente exercice (...)

Dans le BV 481, ont été publiés les exercices de-ci de-là du BV 480.
Il n’y a pas eu d’exercices de-ci de-là pour le BV 481.
<redacteur|auteur=500>

Exercices
Exercice 495-1 (Jean Gounon – Chardonnay)
ABC est un triangle non aplati. Déterminer l’ensemble (E) des points M du plan du triangle tels que les aires des triangles MAB, MBC et MCA soient égales.
Voir l’article où est publiée la solution
Exercice 495-2 (Raphaël Sinteff – Nancy) d’après le sujet de TP Bac S n°30, juin 2008
Etudier la suite $(u_n)_n \ge 1$ définie par $u_n+1=\fracu_nn+1$ et $u_1$ réel.
Voir l’article où est publiée la solution
Exercice 495-3 pioché de-ci, de-là … (...)

Exercices
Exercice 493-1 (Jean-Yves Le Cadre – Saint Avé)
Voici un trièdre trirectangle composé de trois miroirs. Un rayon lumineux se réfléchit sur les trois faces
successivement. Que dire du dernier rayon réfléchi ?
voir l’article où est publiée la solution
Exercice 493-2 (Raphaël Sinteff – Nancy) Soit la suite \((u_n)\) d’entiers naturels définie par \(u_0 \in \mathbb N*\), pour tout n entier naturel non
nul, et \(u_n+1= \left\ \beginarrayl \fracu_n2 \text si \)u_n\( est pair \\ u_n+3 (...)

Exercices
Exercice 497-1 (Daniel Reisz – Auxerre) à proposer à nos élèves Dans une feuille de papier on découpe un trou circulaire de 3cm de diamètre. Peut-on y faire passer une pièce de 4cm de diamètre ? Les équations $ax^2+ bx + c = 0, cx^2 + ax + b = 0$ et $bx^2+ cx + a = 0$ peuvent-elles avoir toutes les trois deux racines réelles ? Pour un nombre réel x, on note $\lfloor x \rfloor$ sa partie entière (le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x) et on note sa partie décimale $\x\$. (...)

Exercices
Exercice 499-1 piochés de-ci, de-là… à proposer à nos élèves A. Trois carrés sont placés côte à côte à l’intérieur d’un triangle rectangle, comme le montre la figure ci-contre. Le plus petit carré mesure 16 mm de côté et le côté du plus grand 36 mm. Combien mesure le côté du carré du milieu ? B. Les segments [BE], [CE], [AF] et [BF] partagent le rectangle ABCD ci-contre en plusieurs régions. Quatre d’entre elles sont ombrées, deux triangles et deux quadrilatères. Leurs aires (...)

Exercices
Exercice 496-1 (Pierre de Fermat – Beaumont de Lomagne)
Sur la figure ci-contre, le rectangle ABCD est tel que $AB=\sqrt 2 AD$ À partir d’un point M du demi-cercle de diamètre [AB] extérieur au rectangle, on construit les segments [MC] et [MD]. Les points X et Y sont leurs intersections respectives avec le côté [AB]. Prouver que $AX^2 + YB^2 = AB^2$ .
Voir l’article où est publiée la solution
Exercice 496-2 (Daniel Reisz – Auxerre) d’après un exercice proposé (...)

Exercices
Exercice 498-1 (Un problème de lieu) Olympiades soviétiques 1966
On considère un triangle ABC d’un plan $\mathcalP$ , un point M de l’espace n’appartenant pas à $\mathcalP$ et son projeté orthogonal H sur $\mathcalP$ . Le point M est tel que MH est la plus petite des quatre hauteurs du tétraèdre ABCM. Déterminer le lieu de H.
Voir l’article où est publiée la solution
Exercice 498-2 (Daniel Reisz – Auxerre)
On joue 20 fois à pile ou face et on obtient : $$00\ 11\ 0000\ 1\ 0\ 11\ 00000\ 1~(...)

Exercices
Exercice 500-1. On n’a pas tous les jours 100 ans (Heu …, c’est tous les combien déjà ?)
La figure 0 correspond à une affiche de 2010. Chaque année l’APMEP se plie en quatre pour promouvoir l’enseignement des maths. Le pliage est celui qui correspond aux figures successives. Un qui n’y voit pas plus loin que le bout de son nez, dirait volontiers que l’association va y perdre son âme et donnerait la figure 9 en exemple. Sottise ! Les figures 16 et 17 montrent bien que les apparences étaient (...)

Exercices
Exercice 501-1 Michel Lafond-Dijon
Le rectangle IJKL est partagé en huit domaines. (Voir figure approximative ci-contre)
On connaît : aire (CNK) = 104, aire (AMI) = 9 et aire (BMJN) = 143
Déterminer les aires des cinq autres domaines.
Il s’agit d’un prolongement de l’exercice 499-1 B, qui ne s’adresse plus vraiment directement aux élèves…
Voir l’article où est publiée la solution
Exercice 501-2 Daniel Reisz – Auxerre à proposer à nos élèves
A. Un trapèze ABCD est circonscrit à (...)