Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 503–1 (Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg)) Démontrer les formules trigonométriques suivantes et en proposer d’autres : $$ \tan\left( \frac3 \pi7\right) - 4\sin\left( \frac\pi7\right)=\sqrt 7 ;$$ $$ \tan\left( \frac3 \pi11\right) + 4\sin\left( \frac2 \pi11\right)=\sqrt 11 ;$$ $$ \tan\left( \frac5 \pi19\right) + 4\sin\left( \frac2 \pi19\right)- 4\sin\left( \frac3 \pi19\right)+ 4\sin\left( \frac8 \pi19\right)=\sqrt 19 ;$$
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Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 502–1 (Gauthier Gidel, Alexandre Benchaouine, Benoît Joly) Soit $n \in \mathbb N$* , $x_1, …, x_n$ des réels strictement positifs et $p_1, …, p_n$ des réels strictement positifs de somme 1. Pour tous les réels S et t vérifiant, pour tout $i \in $, $$S \le \sqrtx_i \le S+t$$ montrer que $$\frac1\sum_\limitsi=1^n \fracp_ix_i \le \sum_\limitsi=1^n p_i x_i \le \frac1\sum_\limitsi=1^n \fracp_ix_i + t^2$$
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Problème (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 496-1 (Michel Lafond) Un triangle a un périmètre p et une aire $\mathcal A$. Montrer que chaque côté du triangle mesure au plus $$\fracp6 \left( 1+2 \cos \left( \frac13 \arccos \left( 1 - \frac864 \mathcal A ^2p^4 \right) \right) \right)$$
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Problème 496-2
Pour $n \in \mathbb N$ et $k \in [ 0, n ]$, on note $\binomnk$ le coefficient binomial $\fracn !k !(n-k) !$. Pour tout nombre premier p, établir les (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 493-1 soit $(a_n)_n \ge 1$ une suite de réels tels que pour tout $i,j \in \mathbb N^*, a_i+j \le a_i+a_j$ Montrer que pour tout $n \in \mathbb N^*$ $$\sum_i=1^n \fraca_kk \ge a_n$$
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Problème 493–2 (Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg)) Dans le plan euclidien, soit $\Gamma$ un cercle de centre O, et soit U et V deux points distincts, alignés avec le centre O. À partir d’un point A du cercle $\Gamma$, on (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 497 - 1 (Fernand Canonico)
Caractériser (par exemple par leurs valuations p-adiques) les entiers pouvant s’écrire $2a^2 + 3b^2$ avec $a, b \in \mathbb N$ .
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Problème 497 - 2 (Pascale De Jonghe)
Soit $(u_n)_n\in \mathbb N$ une suite complexe et R un réel, R > 1. On suppose que la suite $ (Ru_n+1-u_n)_n \in \mathbb N$ converge vers $ l \in \mathbb C$ quand n tend vers $+\infty$. Étudier la convergence de la (...)

Énoncés des nouveaux problèmes Problème 499 - 1 (Michel Lafond (Dijon))
On pose $a_0= 0, a_1= 1$ et pour $n \in \mathbb N^*$ , $a_2n=a_n$ et $a_2n+1= a_n + a_n+1$. Montrer que pour $n \in \mathbb N$, on a $a_n \le n^0.695$. Montrer qu’il existe une infinité d’entiers naturels $n \in \mathbb N$ tels que $a_2n \ge n^0.694$.
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Problème 499 - 2 (Xavier Reliquet (Paris)) Tout sous-corps de $\mathbb C$ est-il stable par conjugaison ?
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Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 498 - 1 (Michel Lafond (Dijon))
Un entier naturel est dit « quarrable » s’il est la somme des chiffres d’un carré parfait (en base 10). Par exemple, l’entier 22 est quarrable puisque $$22=5+4+7+6 \ \ \ \ \textet \ \ \ \ 5476=74^2$$ Caractériser la suite (0, 1, 4, 7, 9, 10, 13, …) des entiers quarrables.
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Problème 498 - 2 (Georges Kocher (Ravières))
Pour trois réels strictement positifs a, b, c dont la somme vaut 1, (...)

Les propositions de problèmes, solutions ou commentaires, sont à envoyer à
Max HOCHART 13, rue des Garennes 63800 Cournon d’Auvergne
ou par courriel à
hochartmax@yahoo.fr
Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 489-1
Pour n ∈ $\mathbbN$* , on note σ(n) la somme des diviseurs (dans $\mathbbN$*) de n. Si n est divisible par 24, en est-il de même de σ(n − 1) ?
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Problème 489-2 (Question de Fernand Canonico)
Soit n un entier strictement positif. Pour $(u_1, ..., (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 500 - 1
Soit f : [0, 1] $\rightarrow \mathbbR$ continue, telle que $\int_0^1 f(t)dt=0$. Montrer qu’il existe $x \in ]0, 1[$ tel que $\int_0^x tf(t)dt=0$
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Problème 500 - 2 (Jean-Louis Trinquand (Clermont-Ferrand))
Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On extrait au hasard successivement et sans remise tous les jetons de l’urne. On note $t_i$ le numéro porté par le jeton obtenu au i-ième tirage. On note $x_i$ (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 501–1 (Franck Gautier, Pérignat lès Sarliève)
Montrer que le produit de huit entiers consécutifs non nuls ne peut être un carré parfait.
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Problème 501–2 (Michel Lafond, Dijon)
Soit $c \in \mathbbN$ et K la suite définie par $$K_0= 0, K_1= 1\ \text et pour n \ge 2 \ \ K_n= (c - 2)K_n-1- K_n-2+ 2.$$ Montrer que si c est un carré parfait, alors tous les $K_n$ sont des carrés parfaits.
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Olympiades internationales
Les problèmes ci-dessous constituaient les épreuves des $49^e$ olympiades internationales de mathématiques qui se sont déroulées à Madrid le 17 juillet 2008.
Problème 479-1
Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus, et soit H son orthocentre. Le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [BC] coupe la droite (BC) en $A_1$ et $A_2$.
De même, le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [AC] coupe la droite (AC) en $B_1$ et $B_2$ (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 482-1 (question de Michel LAFOND) Un quadrilatère convexe a des côtés de mesure 6, 7, 8 et 11 et une aire de mesure 60. Est-il inscriptible ?
Problème 482-2 Pour $n \in \mathbb N $ et $x, y, z \in \mathbb C$, simplifier $$\sum_k=1^n n \choose k (x-kz)^k-1 (y+kz)^n-k$$
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Problème 482-3 Pour $n \in \mathbb N$, on note S(n) la somme des chiffres dans l’écriture de n en base 10. Trouver les $k \in \mathbb N^*$ tels que la (...)

Énoncés des nouveaux problèmes Problème n°3
J. Lecoq — École normale de Caen
Quel est le plus petit multiple de 49 qui s’écrit, en notation décimale, à l’aide du chiffre 1 seul ? Problème n° 4
E. Erhart — École Militaire de Strasbourg
Dans la revue de Mathématiques Spéciales, mai 1966, n° 10, on étudie les sections planes d’un cube de surface maximale. Trouver ici les sections de périmètre maximal. Problème n° 5
Roch Laframbroise — Collège de Wamwata, Québec
Les n nombres \(x_1 .... x_n\) de l’intervalle [- 1, + (...)

On donne la table incomplète d’une fonction \(x\) 1960 … 1967 1968 1969 1970 … \(f(x)\) 0 … 0 3 7 10 …
où les lecteurs avertis (p.20) reconnaissent ...
La question que tout le monde se pose : jusqu’où faut il prolonger la première ligne pour que la fonction soit surjective ?
Question subsidiaire en apparence mais qui ne l’est pas en réalité (voir p. 31) : cela ne dépend-il pas de nous ?
La rédaction du Bulletin accueillera avec plaisir les solutions élégantes que nos lecteurs voudront (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 487-1 (Question de Srinivasa Ramanujan)
Pour $x \geq 1$, simplifier $$f(x) = \sqrt 1 +x\sqrt1+(x+1)\sqrt1+(x+2)\sqrt1+(x+3)\sqrt1+\ldots$$ après avoir montré que cette expression avait un sens.
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Problème 487-2 (Question de Michel Lafond)
On définit la suite $u$ par $u_0 \in [0,1]$ et pour tout $n \in \mathbb N$, $u_n+1 = 2 min(u_n, 1 − u_n)$. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N$, $$u_n=\frac1\pi\arccos\big ( (...)

Enoncés des nouveaux problèmes
Problème 484-1 (question de Michel LAFOND)
Résoudre dans $\mathbb Z^*$ l’équation $a^2 + b^3 = c^4$.
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Problème 484-2
Soit G un groupe. Un élément g $\in$ G est dit mou si pour toute partie A $\subset$ G génératrice de G, A – $\g\$ reste génératrice. Montrer que l’ensemble des éléments mous est un sous-groupe de G. Trouver les éléments mous des groupes $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$, puis $\mathbb Z/n\mathbb Z$ pour n $\in \mathbb N^*$. (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 488-1 (Question de Louis-Marie Bonneval)
Le Bon, la Brute, le Truand s’affrontent dans un ultime combat. Ils sont d’habiletés inégales : le Bon atteint sa cible deux fois sur trois, la Brute une fois sur deux, le Truand une fois sur trois. Le combat se déroule en rounds successifs où chacun vise son adversaire le plus dangereux, et où ils tirent en même temps (à chaque round, les résultats des tirs sont donc indépendants). Ces rounds se répètent tant qu’il (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 486-1
Soit P et Q deux polynômes à coefficients entiers relatifs et sans racine complexe commune. Pour $n \in \mathbb Z$, on désigne par $u_n$ le pgcd de P(n) et Q(n). Montrer que la suite $(u_n)_n \in \mathbb Z$ est périodique.
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Problème 486-2 (Question de Michel Lafond)
On appelle nombre d’Einstein un entier au moins égal à 2 dont la décomposition en facteurs premiers est $mc^2$ où m et c sont des nombres premiers (...)