Les Problèmes de l’APMEP

 

 

  • Les problèmes du BV 500

    Énoncés des nouveaux problèmes
    Problème 500 - 1
    Soit f : [0, 1] $\rightarrow \mathbbR$ continue, telle que $\int_0^1 f(t)dt=0$. Montrer qu’il existe $x \in ]0, 1[$ tel que $\int_0^x tf(t)dt=0$
    voir l’article où est publiée une solution
    Problème 500 - 2 (Jean-Louis Trinquand (Clermont-Ferrand))
    Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On extrait au hasard successivement et sans remise tous les jetons de l’urne. On note $t_i$ le numéro porté par le jeton obtenu au i-ième tirage. On note $x_i$ (...)

  • Problèmes du BV 501

    Énoncés des nouveaux problèmes
    Problème 501–1 (Franck Gautier, Pérignat lès Sarliève)
    Montrer que le produit de huit entiers consécutifs non nuls ne peut être un carré parfait.
    voir l’article où est publiée la solution
    Problème 501–2 (Michel Lafond, Dijon)
    Soit $c \in \mathbbN$ et K la suite définie par $$K_0= 0, K_1= 1\ \text et pour n \ge 2 \ \ K_n= (c - 2)K_n-1- K_n-2+ 2.$$ Montrer que si c est un carré parfait, alors tous les $K_n$ sont des carrés parfaits.
    voir l’article où est (...)

  • Les problèmes du BV 479

    Olympiades internationales
    Les problèmes ci-dessous constituaient les épreuves des $49^e$ olympiades internationales de mathématiques qui se sont déroulées à Madrid le 17 juillet 2008.
    Problème 479-1
    Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus, et soit H son orthocentre. Le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [BC] coupe la droite (BC) en $A_1$ et $A_2$.
    De même, le cercle passant par H et dont le centre est le milieu de [AC] coupe la droite (AC) en $B_1$ et $B_2$ (...)

  • Les problèmes du BV 482

    Énoncés des nouveaux problèmes
    Problème 482-1 (question de Michel LAFOND) Un quadrilatère convexe a des côtés de mesure 6, 7, 8 et 11 et une aire de mesure 60. Est-il inscriptible ?
    Problème 482-2 Pour $n \in \mathbb N $ et $x, y, z \in \mathbb C$, simplifier $$\sum_k=1^n n \choose k (x-kz)^k-1 (y+kz)^n-k$$
    voir l’article où est publiée une solution
    Problème 482-3 Pour $n \in \mathbb N$, on note S(n) la somme des chiffres dans l’écriture de n en base 10. Trouver les $k \in \mathbb N^*$ tels que la (...)

  • Les problèmes de l’A.P.M n°3, 4 et 5

    Énoncés des nouveaux problèmes Problème n°3
    J. Lecoq — École normale de Caen
    Quel est le plus petit multiple de 49 qui s’écrit, en notation décimale, à l’aide du chiffre 1 seul ? Problème n° 4
    E. Erhart — École Militaire de Strasbourg
    Dans la revue de Mathématiques Spéciales, mai 1966, n° 10, on étudie les sections planes d’un cube de surface maximale. Trouver ici les sections de périmètre maximal. Problème n° 5
    Roch Laframbroise — Collège de Wamwata, Québec
    Les n nombres \(x_1 .... x_n\) de l’intervalle [- 1, + (...)

  • Les grands problèmes de l’APMEP

    On donne la table incomplète d’une fonction \(x\) 1960 … 1967 1968 1969 1970 … \(f(x)\) 0 … 0 3 7 10 …
    où les lecteurs avertis (p.20) reconnaissent ...
    La question que tout le monde se pose : jusqu’où faut il prolonger la première ligne pour que la fonction soit surjective ?
    Question subsidiaire en apparence mais qui ne l’est pas en réalité (voir p. 31) : cela ne dépend-il pas de nous ?
    La rédaction du Bulletin accueillera avec plaisir les solutions élégantes que nos lecteurs voudront (...)

  • Les problèmes du BV 487

    Énoncés des nouveaux problèmes
    Problème 487-1 (Question de Srinivasa Ramanujan)
    Pour $x \geq 1$, simplifier $$f(x) = \sqrt 1 +x\sqrt1+(x+1)\sqrt1+(x+2)\sqrt1+(x+3)\sqrt1+\ldots$$ après avoir montré que cette expression avait un sens.
    voir l’article où est publiée la solution
    Problème 487-2 (Question de Michel Lafond)
    On définit la suite $u$ par $u_0 \in [0,1]$ et pour tout $n \in \mathbb N$, $u_n+1 = 2 min(u_n, 1 − u_n)$. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N$, $$u_n=\frac1\pi\arccos\big ( (...)

  • Problèmes du BV 484

    Enoncés des nouveaux problèmes
    Problème 484-1 (question de Michel LAFOND)
    Résoudre dans $\mathbb Z^*$ l’équation $a^2 + b^3 = c^4$.
    voir l’article où est publiée une solution
    Problème 484-2
    Soit G un groupe. Un élément g $\in$ G est dit mou si pour toute partie A $\subset$ G génératrice de G, A – $\g\$ reste génératrice. Montrer que l’ensemble des éléments mous est un sous-groupe de G. Trouver les éléments mous des groupes $\mathbb Z$ et $\mathbb Q$, puis $\mathbb Z/n\mathbb Z$ pour n $\in \mathbb N^*$. (...)

  • Problèmes du BV 488

    Énoncés des nouveaux problèmes
    Problème 488-1 (Question de Louis-Marie Bonneval)
    Le Bon, la Brute, le Truand s’affrontent dans un ultime combat. Ils sont d’habiletés inégales : le Bon atteint sa cible deux fois sur trois, la Brute une fois sur deux, le Truand une fois sur trois. Le combat se déroule en rounds successifs où chacun vise son adversaire le plus dangereux, et où ils tirent en même temps (à chaque round, les résultats des tirs sont donc indépendants). Ces rounds se répètent tant qu’il (...)

  • Les problèmes du BV 486

    Énoncés des nouveaux problèmes
    Problème 486-1
    Soit P et Q deux polynômes à coefficients entiers relatifs et sans racine complexe commune. Pour $n \in \mathbb Z$, on désigne par $u_n$ le pgcd de P(n) et Q(n). Montrer que la suite $(u_n)_n \in \mathbb Z$ est périodique.
    voir l’article où est publiée la solution
    Problème 486-2 (Question de Michel Lafond)
    On appelle nombre d’Einstein un entier au moins égal à 2 dont la décomposition en facteurs premiers est $mc^2$ où m et c sont des nombres premiers (...)

  • Les problèmes du BV 481

    Les propositions de problèmes, solutions ou commentaires, sont à envoyer par courrier à Max HOCHART 65, rue Blatin 63 000 CLERMONT-FERRAND ou par courriel à hochartmax@yahoo.fr.
    Je souhaiterais commencer cette rubrique par des remerciements pour les courriers très touchants de bienvenue et d’encouragements qui me sont parvenus.
    La publication des solutions commencera dans le prochain numéro. Il est encore temps d’envoyer vos réponses, même partielles. Par ailleurs, George Lion (Wallis) me signale (...)

  • Les roblèmes du BV 492

    Énoncés des nouveaux problèmes
    Problème 492-1 Trouver tous les polynômes complexes P tels que si |z|=1 alors |P(z)|=1.
    voir l’article où est publiée la solution
    Problème 492 - 2 (Question de Michel Lafond) Soit P et Q deux polynômes réels du second degré. On suppose que les suites $(P(n))_n\in \mathbb N*$ et $(Q(n))_n\in \mathbb N*$ sont strictement croissantes et sans terme commun. On intercale ces deux suites pour obtenir la suite $$u=(1,2,8,10,18,25,32,46....)$$ Calculer (...)

  • Problèmes du n° 480

    Problème 480-1
    Montrer que la distance minimale entre un point du cercle de rayon r > 0 centré en
    l’origine et un point du réseau \( \mathbbZ \) tend vers 0 quand r tend vers \(+\infty\).
    voir l’article où est publiée une solution Problème 480-2
    Pour \( n \in \mathbbN^*\), \(S_n\) désigne le groupe des permutations de l’ensemble [1,n]. Pour
    chaque permutation \(\sigma \in\ S_n\) on note \(\omega(\sigma )\) le nombre d’orbites de \(\sigma\) . Factoriser le
    polynôme
    \(P_ n(X) = \sum _\sigma \in~(...)

  • Le problème n°316

    Énoncé no 316 (Mireille GENIN, 44-Nantes)
    D, E et F sont les pieds des bissectrices intérieures d’un triangle ABC. Montrer que le triangle DEF est rectangle si et seulement si l’un des angles du triangle ABC vaut 120°.
    Solutions
    Énoncé n° 307 (François DUC, 84-Orange)
    On veut pouvoir peser avec une balance Roberval n’importe quel objet de masse entière, inférieure ou égale à M grammes, en disposant uniquement de n poids dont la somme des masses ne dépasse pas M. Exprimer en fonction de M la plus (...)

  • Les problèmes du bulletin vert

    Solutions des problèmes antérieurs
    Énoncé n° 308 (François LO JACOMO, 75–Paris)
    Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites de l’espace. À quelle condition, si l’on compose une
    rotation d’un tiers de tour autour de \((D_1)\) avec une rotation d’un tiers de tour autour
    de \((D_2)\) , obtient-on une rotation d’un tiers de tour ?
    À quelle condition, si l’on compose une rotation d’un quart de tour autour de \((D_1)\) avec une rotation d’un quart
    de tour autour de \((D_2)\) , obtient-on une rotation d’un (...)

  • Les problèmes du bulletin vert

    Énoncé n° 305
    (Pierre DUCHET, 75-Paris)
    En appelant « sphinx » et « parallélogramme » les deux formes que voici : a) Peut-on paver complètement un triangle équilatéral, de côté n, avec des sphinx ? b) Combien peut-on placer (au maximum) de parallélogrammes à l’intérieur d’un hexagone régulier de côté n ?
    Dans les deux cas, les pièces ne doivent pas se recouvrir. Elles peuvent être pivotées et retournées.
    SOLUTION
    Un triangle $T_n$, de côté n, $n^2$ fois plus grand qu’un triangle unité (de côté 1), contient (...)

 

 

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