Solutions des problèmes antérieurs Problème n°280 (Dominique ROUX, 87 - Limoges) Soit S l’ensemble des entiers k ≥ 2 tels qu’il existe k entiers consécutifs, (n + 1), (n + 2), ..., (n + k), n ≥ 0, dont la somme des carrés soit un carré parfait : $$(n + 1)^2 + (n + 2)^2 + … + (n + k)^2 = m^2$$ a) Montrer que l’ensemble S est infini, et qu’il existe une infinité d’entiers qui n’appartiennent pas à S b) Montrer qu’il existe des entiers k ∈ S tels que l’équation : $$(n + 1)^2 + (n + 2)^2 + … + (...)

Solutions des problèmes antérieurs
Problème n°281 (Moubinool OMARJEE, 75 - Paris) Soit une série convergente, de terme général \(\alpha_n\), de somme S. Montrer qu’il existe une suite croissante \((k_n)\) d’entiers naturels, qui tende vers l’infini lorsque n tend vers l’infini, et telle que la série de terme général \(k_n\alpha_n\) soit convergente.
SOLUTION
Problème n°282 (Raymond PRUDHOMME, 76 - lsneauville) Soit ABC un triangle et ( Γ ) son cercle circonscrit. Les bissectrices (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème n°293 (Pierre BORNSZTEIN, 95 - Pontoise) Initialement, n oiseaux se trouvent chacun à un sommet d’un polygone régulier à n côtés. Lorsqu’ils sont apeurés, ces oiseaux s’envolent. Puis, après quelque temps, ils reviennent se poser un sur chaque sommet du polygone, mais pas nécessairement sur leurs positions initiales. Trouver tous les n > 0 pour lesquels il existe nécessairement trois oiseaux qui, avant et après l’envol, forment deux triangles tous deux (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème n°295 (Michel LAFOND, 21-Dijon) Démontrer que le nombre de triangles inégaux de périmètre n à côtés entiers et non aplatis est égal au nombre de manières de payer (n − 3) euros avec des pièces de 2, 3 ou 4 euros.
voir l’article où est publiée une solution
Problème n°296 (Raymond RAYNAUD, 04-Digne) Les parallèles à une droite (d) menées par les sommets d’un triangle ABC recoupent respectivement son cercle circonscrit en A′ , B′ , C′. P étant un (...)

François LO JACOMO Indications sur des énoncés déjà publiés Énoncé n°305 (pavage par des sphinx ou des parallélogrammes) : a) seuls sont pavables par des sphinx les triangles de côté multiple de 12. b) dans un hexagone de côté 3, on peut mettre au plus 12 parallélogrammes.
Énoncé n°306 (une caractérisation des droites de Simson) : Quelle méthode recommander ? que les droites de Simson relatives à ABC sont les asymptotes des hyperboles équilatères passant par A, B et C ?
Énoncés des nouveaux problèmes (...)

Solutions des problèmes antérieurs
Problème 287 (Pierre SAMUEL, 92-Bourg la Reine) À tout polynôme \(P(w) = aw^2 + 2bw + c \ \ \ (a, b, c \in \mathbb Z, a > 0, 0 ≤ b < a)\) on associe
l’équation : \(x^2 − ay^2 = b^2 − ac\).
1 – Toute équation (E) : \(x^2 − ay^2 = k \ \ \ (a, k \in \mathbb Z, a > 0)\) est-elle associée à des polynômes P(w) et à combien (commencer par le cas où a est premier avec k) ?
2 – Quelles relations y a-t-il entre les solutions entières (x, y) de (E) et les valeurs (...)

Solutions des problèmes antérieurs
Problème 288 (Philippe DELEHAM, 97-Ouangani)
Deux cercles \((C_1)\) et \((C_2)\) se coupent en A et B. La tangente à \((C_1)\) en A coupe \((C_2)\) en C. La tangente à \((C_2)\) en B coupe \((C_1)\) en D. La droite (CD) coupe \((C_1)\) en E et \((C_2)\) en F. Montrer que
$$\frac1FB^2+\frac1BD^2+\frac1DA^2=\frac1EA^2+\frac1AC^2+\frac1CB^2$$
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Énoncés des nouveaux problèmes
Problème n°297 (Jacques BOUTELOUP, 76-Rouen) On considère quatre cercles du plan tangents deux à deux en des points distincts. 1) Démontrer que trois d’entre eux sont tangents extérieurement deux à deux, le quatrième étant soit tangent extérieurement, soit tangent intérieurement à chacun des trois autres. 2) On désigne par $z_i$ les affixes des centres dans une représentation complexe du plan euclidien, par $r_i$ leurs rayons et l’on pose $c_i= - \frac1r_i$ (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 512-1 (Michel Lafond (Dijon)) Le nombre N ! écrit en base dix se termine par un huit suivi d’exactement mille zéros. Que vaut N ?
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Problème 512-2 Dans le probleme 21 posé dans un bulletin vert en 2006, on démontre que les solutions rationnelles de l’équation $x^y = y^x$ avec x < y sont données par $$x=\left(\fracn+1n\right)^n \text et y=\left(\fracn+1n\right)^n+1$$ avec n $\in \mathbb N$. On pose (...)

Indications sur des énoncés déjà publiés
Énoncé 307 (peser avec une balance Roberval) : 3 poids suffisent pour M = 13 (on rappelle que les poids peuvent être placés sur les deux plateaux de la balance).
Énoncé 308 (composé de rotations axiales d’un tiers ou quart de tour) : Que peut-on dire des grandes diagonales d’un cube ?
Énoncé 309 (triangle dont l’orthocentre est centre du cercle inscrit de ABC) : Ce même point est l’orthocentre d’un autre triangle et le centre d’une similitude (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 511-1 Trouver tous les polynômes scindés sur $\mathbb R$ et à coefficients dans $\–1,0,1\$.
Problème 511–2 (Michel Lafond (Dijon)) Soit Q un quadrilatere convexe non aplati. Deux côtes opposés de Q mesurent a et c. La médiane joignant les milieux des deux autres côtés mesure b. Démontrer que si $b^2=\fraca^23+c^2$, alors Q est un trapèze.
Problème 511–3 Une application f : $\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ transformant tout segment en segment est-elle (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 510-1 (Michel Bataille, Rouen) Soit ABC un triangle rectangle en A, non isocèle. Trouver la valeur minimale de PA lorsque P est un point intérieur au triangle tel que $$\fracPA\sin \alpha=\frac12\sqrt\fracPB\sin \beta \fracPC\sin \gamma $$
où $$\alpha=\widehatBPC, \beta=\widehatCPA, \gamma=\widehatAPB$$
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Problème 510-2 Soit $n \in \mathbb N^*$. On se donne n réels $x_1, …, x_n$, tous distincts. Montrer que pour tout (...)

Indications sur des énoncés déjà publiés Énoncé n° 310 (entiers magiques) : Que pourrait valoir $c$ pour $n = 7$ ? Énoncé n° 311 (ex-voto japonais) : Que peut-on dire de $ tan(\frac\widehatOA_iA_i+12$) ?
Énoncés des nouveaux problèmes
Enoncé n° 312 (Pierre JULLIEN, 13-Meyreuil) Soit dans le plan quatre points A, B, C et D tels que AB = CD (égalités de longueurs). On note M le milieu de [AD] et N le milieu de [BC]. Montrer que la droite (MN) coupe les droites (AB) et (CD) sous le même angle. voir le BV où (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 509-1 Soit f,g : $\mathbb R^*_+ \rightarrow \mathbb R$ deux fonctions intégrables sur $\mathbb R^*_+$. Montrer que la fonction $$(x,y) \mapsto \fracf(x)g(x)x+y$$ est intégrable sur $\mathbb R^*_+ \times \mathbb R^*_+$ et trouver la meilleure constante C>0 telle que $$ \left | \iint_]0,+\infty[ \times ]0,+\infty \fracf(x)g(x)x+y dxdy \right 0,+\infty[ f(x)^2 dx\sqrt\int_]0,+\infty[ g(y)^2 dy$$
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Problème 509–2 (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 508-1 On considère une application f : $\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ qui envoie tout segment de $\mathbb R$ sur un segment de même longueur. Trouver f.
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Problème 508-2 (Isao Sauzzede, élève en MP à Clermont-Ferrand) Soit $E = \mathcal C$ ([0 ; 1], $\mathbb R$ ) l’ensemble des applications réelles continues sur [0,1]. On définit une application $\tau$ : $E \rightarrow E$ de la façon suivante : pour $f \in E$, $$ \tau (...)

Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 507-1 (Michel Lafond (Dijon)) On dispose de n quilles (n ≥ 2) alignées tous les 15 cm. Un joueur adroit a une boule de 20 cm de diamètre. Il lance sa boule au hasard, tant que c’est possible, entre deux quilles consécutives encore debout et les renverse. Il renversera donc au plus $\fracn2$ paires de quilles. Soit $X_n$ le nombre de paires de quilles renversées et $E_n= E(X_n)$ son espérance mathématique. Démontrer que lorsque n tend vers l’infini, (...)

Solutions des problèmes antérieurs
Énoncés du problème n°306 (Pierre PARO, 83-Saint-Raphaël)
Une droite (\(\Delta\)) coupe en \(\alpha, \beta, \gamma\) les trois côtés (BC), (CA) et (AB) d’un triangle ABC. Soient A′, B′, C′ les projections orthogonales de A, B, C sur (\(\Delta\)). Montrer que
la droite (\(\Delta\)) est une droite de Simson relativement au triangle ABC si et seulement si les segments [A′\(\alpha\)], [B′ \(\beta\)] et [C′\(\gamma\)] ont même milieu.
SOLUTION (...)