24e démonstration de l’irrationalité de $\sqrt 2$

En épilogue du livre recensé pages 431-434

Encore une démonstration d’irrationalité de la racine carrée de 2 :
si $\sqrt 2$ est rationnelle, alors il existe un plus petit entier positif non nul, q, tel que $q \sqrt 2$ est un entier, disons p.
Puisqu’alors $(p − q)\sqrt 2=p\sqrt 2-q\sqrt 2=(q\sqrt 2)\sqrt 2-p=2q-p$, l’entier (p-q) vérifie lui aussi $(p-q)\sqrt 2$ est entier.
Or on déduit facilement de la relation $q\sqrt 2=p$ que p − q est un entier positif non nul inférieur à q, contredisant ainsi l’hypothèse initiale sur q.