275-276

275-276. Les mathématiques et leur enseignement.

par André LICHNEROWICZ

Dans le monde où nous vivons, la meilleure mesure du développement
d’une société est sans doute fournie par l’éducation moyenne de ses membres
et la répartition harmonieuse des thèmes de cette éducation, à travers disciplines.
méthodes et techniques. Alors que naguère, il suffisait à un homme de
pouvoir s’exprimer correctement dans sa langue, de savoir la lire et l’écrire,
de savoir enfin effectuer sur les nombres décimaux quelques calculs élémentaires
pour se sentir pleinement intégré à la société où il vivait, il n’en est plus
de même aujourd’hui. L’éducation commune doit avoir désormais de plus
hautes ambitions et nous assistons à une extension de ce que j’appellerai
les techniques primaires minima. Pour se sentir citoyen de plein droit de la
société des humains, un homme de la seconde moitié du XX° siècle doit savoir
se localiser dans l’espace et le temps, en plaçant sa civilisation à sa juste place
parmi d’autres ; il doit pouvoir communiquer dans leurs langues avec des
communautés autres que la sienne ; il doit surtout connaître et maîtriser quelques-
unes des méthodes de pensée et d’action qui constituent le savoir-faire
qu’est au vrai notre science et notre technique.

La mathématique joue là un rôle privilégié pour l’intelligence de ce que nous
nommons le réel, réel physique comme réel social. Notre mathématique sécrète,
par nature, l’économie de pensée et, par là, permet seule de classer, de dominer,
de synthétiser parfois, en quelques brèves formules, un savoir qui, sans elle,
finirait par ressembler à quelque fâcheux dictionnaire encyclopédique infiniment
lourd. La mathématique a été, depuis toujours, discipline auxiliaire des
sciences physiques et de l’art de l’ingénieur. Elle est devenue désormais, au
même titre, discipline auxiliaire aussi bien d’une grande partie des sciences
biologiques et médicales que de l’économie et des sciences humaines. Il n’est
presque plus de branche qui n’ait recours à elle, soit comme outil, soit comme
instrument véritable de pensée. Elle porte partout témoignage du fonctionnement même de notre esprit.

La mathématique apparaît donc comme l’une des principales clés pour
l’intelligence du monde où nous vivons. Or l’une de nos graves difficultés est
la suivante : cette clé reste, pour trop d’hommes, mystérieuse. Si pour être
un mathématicien créateur, certains dons, une vocation affirmée, sont nécessaires,
au contraire comprendre des mathématiques faites et, dans une certaine mesure, les maîtriser est en principe à la portée de tous, mais nécessite,
hélas, beaucoup de travail, une immense patience, une certaine forme de
rigueur morale aussi.

Pour voir comment s’est constituée cette mathématique contemporaine
qui baigne la plus grande partie de notre science, un peu d’histoire est nécessaire.

I. - Histoire.

Je ne me dissimule pas combien ce que je vais dire sera partial et incomplet,
mais j’essaierai de ne point déformer la perspective.

Chez les Chaldéens ou les Égyptiens. nous percevons la connaissance de
l’angle de deux étoiles, de la surface d’un champ rectangulaire ou trapézoïdal,
du volume d’un cube ou d’une pyramide régulière. Mais ce que nous nommons
raisonnement est le plus souvent absent ou n’est qu’esquissé sur des exemples.

C’est avec les Grecs qu’apparaît consciemment la première ambition
mathématique et la volonté de bâtir un type de discours, cohérent et contraignant pour l’autre, capable d’interdire le refus de son contenu. Mathématique,
logique et philosophie naissent simultanément, s’entremêlent pour une part,
usent d’un langage peu différencié, variant seulement selon la nature des
objets. Dans la démarche mathématique grecque, deux obstacles graves cependant,
qu’il faudra des siècles pour surmonter. Le discours n’est pas conçu
comme hypothétiquement contraignant, même chez Euclide : les prémisses du
raisonnement ne sont pas posées par un acte libre, mais se veulent douées de
quelque évidence commune et préalable à l’activité mathématique. Il existe
d’autre part un plan privilégié des" objets mathématiques », des « êtres mathématiques
 », objets idéalisés suggérés par la contemplation du ciel ou les problèmes
de la terre, tout au moins ceux qui relèvent de l’architecture, du commerce
ou de la navigation. Ces deux obstacles marqueront fortement le développement
mathématique jusqu’au XIX° siècle et d’abord celui de la mathématique
grecque.

L’arithmétique grecque, science des nombres, ne reconnaît guère à ses
débuts de statut mathématique qu’aux entiers et aux fractions ou proportions ;
mais elle a réussi à dégager une théorie des lois de composition élémentaires
sur ces nombres. Cette arithmétique rudimentaire ne connait point le zéro,
« objet absence d’objet », et a fortiori elle ignore la numération de position.

La géométrie, science des figures planes ou spatiales, fut pour les Grecs,
à juste titre, la reine des sciences. Basée sur une structure extrêmement riche - si vous me pardonnez cet anachronisme - c’est avec elle que l’esprit humain
va véritablement apprendre ce qu’est un raisonnement et acquérir l’expérience
de bien des pièges qui peuvent se présenter. Elle aboutira à la présentation
axiomatique d’Euclide - restée trop souvent la nôtre dans l’enseignement
secondaire - et culminera dans la théorie des coniques.
Mais si le programme d’Euclide semble celui-même que nous souhaiterions,
la réalisation du projet est bien loin d’aboutir, faute de fondements, à un
corps de doctrine rigoureux. La moitié des « raisonnements » des premiers
livres d’Euclide sont en vérité de « pseudo-raisonnements ». De simples retouches
ne peuvent suffire à rendre à l’édifice sa solidité ; la subtilité grecque a
réussi à masquer le manque profond de rigueur sous des doses d’" évidence »
judicieusement et subrepticement introduits ; si nos enfants ne comprennent
pas toujours la géométrie élémentaire, il y a quelque raison à cela.
D’autre part, tout ce qui concerne la mesure des grandeurs est déficient.
Cela est lié au manque de statut mathématique des nombres réels. n y avait
conflit entre une arithmétique trop rudimentaire et une géométrie qui, dès
ses premiers pas, introduisait nécessairement les réels, algébriques comme
$\sqrt2$, mais aussi transcendants comme $\pi$. Les « irrationnels » reçurent un statut
provisoire, mais qui dura des siècles : on travaillera avec eux, mais sans pouvoir
en faire l’objet d’une théorie élaborée ; ils se feront instrument heuristique
nécessaire. A certaines périodes, la familiarité acquise masquera, là encore,
la déficience, mais le problème restera présent à la conscience des mathématiciens
et dans la seconde moitié du XIX° siècle on verra surgir une, ou plutôt
plusieurs théories équivalentes, des réels sur lesquelles fonder solidement
toutes les mathématiques historiquement antérieures. Sur cet exemple privilégié
des nombres réels, on voit que, pendant plus de vingt siècles, les différentes
parties des mathématiques ont été bien loin d’avoir la même cohérence, situation
qui a désormais disparu.
Les applications techniques de la mathématique grecque constituée ne
sont pas très nombreuses : arpentage, astronomie appliquée à la navigation,
statique des machines simples, optique des miroirs. Archimède, avec son
œuvre mathématique et ses applications à la mécanique et à l’optique peut
symboliser l’apogée de la science grecque.
La mathématique grecque ne comporte pas d’algèbre, au sens ordinaire
du terme. Du VII° au XII° siècle, l’algèbre murit principalement en Perse et
diffuse à travers l’empire arabe. Le zéro est apparu et avec lui la numération
de position qui est la nôtre et qui facilitera l’élaboration d’une théorie des
réels. A travers l’Espagne, cette algèbre et cette arithmétique perfectionnée
conquièrent l’Occident.
Le prochain pas va venir de l’Occident, créateur simultané de l’analyse
et de la dynamique. La géométrie elle-même, soit sous sa forme pure, soit
sous sa forme analytique, s’intéresse désormais à des courbes fort différentes
des coniques des Grecs et il importe de savoir déterminer leurs tangentes ou
de calculer les aires qu’elles enserrent. De Buridan à Galilée, puis Descartes,
mécanique a muri et sait au moins poser ses problèmes. Il se trouve qu’à
toutes ces questions, recherche des tangentes et des vitesses, calcul des aires,
détermination des mouvements, une même opération, la dérivation et l’opération
inverse l’intégration apportent énoncés précis des problèmes ou leur
solution. Avec les œuvres de Leibnitz et Newton commence l’ère moderne des
mathématiques c1assiques.

Munie de cet étonnant outil de l’analyse, la science mathématique va
d’abord se faire, pendant un siècle, principalement physique mathématique.
On va assister au grand développement de la mécanique théorique, mécanique
céleste d’abord, mais aussi mécanique terrestre et hydrodynamique, puis théorie
de la chaleur et des vibrations, étude théorique de l’électricité enfin avec
Ampère.

Mais, dès 1830, à côté de cette puissante école qui explique mathématiquement
une large classe de phénomènes physiques et crée les instruments mathématiques
correspondants, commence la réflexion systématique des mathématiques
sur elles-mêmes qui va leur permettre d’assumer enfin leur ambition
de cohérence et de connaître les limites de cette ambition. Galois, créateur
de la notion de groupe, peut être pris comme symbole d’un siècle d’efforts
qui va amener la disparition consciente et définitive des deux grands obstacles
dont j’ai parlé. Il y a mutation de ce qu’on peut nommer l« es mathématiques
classiques » en une mathématique une, notre mathématique contemporaine ;
au lieu de subir les structures et de les reconnaître un peu au hasard, la mathématique
va s’efforcer de les dominer.

II. - Situation actuelle.

Moins connu que le développement de la physique durant la même période,
le développement mathématique des cent dernières années s’est révélé tout
aussi explosif et peut-être encore plus important.

Les mathématiques se sont étudiées elles-mêmes et constituées en une
sorte de meccano dont les pièces sont ce que nous nommons les structures
élémentaires, c’est-à-dire celles où le nombre des axiomes est faible. Au lieu
de commencer l’étude mathématique, selon l’histoire, par des structures
riches comme celle de la géométrie euclidienne, avec sa multiplicité d’axiomes,
on devra commencer, selon le bon ordre des mathématiques, par des pièces
élémentaires, les structures pauvres qui doivent s’emboiter les unes avec les
autres pour bâtir ces machineries complexes que sont les grandes théories.

Ce qui frappe tout d’abord, je crois, dans notre mathématique contemporaine,
c’est l’absence de toute métaphysique de l’identité et de la chose
en soi. En termes non techniques, il n’existe point de niveau privilégié des
objets mathématiques sur lesquels on opère, mais des structures, par exemple,
peuvent devenir à leur tour objets mathématiques pour une théorie située
à un autre niveau. L’identité de nature entre les êtres mathématiques sur
lesquels on raisonne importe peu. Ce qui importe, c’est la possibilité de « dictionnaires parfaits »
et l’isomorphisme correspondant des structures étudiées.
L’identité, pour le mathématicien en action est remplacée par l’isomorphisme
et, pour faci1iter son langage, le mathématicien identifie parfois, sans scrupules,
des objets d’origine différente lorsqu’un isomorphisme l’assure qu’il ne ferait
que prononcer deux fois le même discours dans deux langues différentes.
Il m’est arrivé d’employer l’expression d’être mathématique ; cette expression
n’a pas grand sens : un ensemble ou une catégorie est, si j’ose dire, un
ensemble ou une catégorie de n’importe quoi. Par suite tout donné peut être
considéré comme mathématifiable s’il consent à se soumettre au traitement
des ensembles, catégories, morphismes, c’est-à-dite dans la mesure exacte
où ce que nous négligeons ainsi - tout le contenu ontologique - ne nous
importe pas. On peut dire que, par son discours même, la mathématique a un
caractère radicalement non-ontologique, ou si vous préférez met l’ontologie
entre parenthèses. Le discours mathématique apparait comme un filet aux
mailles arbitrairement serrées, mais qui laisse nécessairement s’écouler l’onde
ontologique. Si les grands philosophes ne se font plus mathématiciens, c’est
peut-être à la prise de conscience de ce fait que cela est dû.

Un autre caractère essentiel de la mathématique contemporaine est son
unité. Elle a brisé les vieux cadres historiques qui auraient tendu, en se remplissant,
à la fragmenter en des disciplines distinctes évoluant d’une manière
divergente. La géométrie entre autres est morte en tant que branche autonome ;
elle s’est métamorphosée en l’étude de certaines structures algébrico-topologiques
particulièrement intéressantes. On voit combien le point de vue de la
mathématique sur elle-même est éloignée du point de vue historique qui lui
a donné naissance. Mais « dans le règne de la pensée scientifique, disait Bachelard,
ce qui mérite le nom d’idée nouvelle est immédiatement réorganisation
des idées anciennes Il. L’auto-réforme de soi qu’entraîne une idée scientifique
nouvelle nous offre un passé nouveau, un passé renouvelé en même temps
qu’un avenir à bâtir. Ce n’est nulle part plus vrai que dans cette mathématique
qui se veut théorie unifiée au feu de l’esprit et non savoir accumulé couche par
couche. Il est curieux de voir sous nos yeux se modifier complètement l’éclairage
de notions premières ou l’importance de grands théorèmes. Ce qui était
naguère presque le départ d’une voie de recherche se métamorphose en corollaire
sans grandeur ou - suprême injure - en simple exercice, aux yeux
d’une mathématique renouvelée.

L’effort proprement mathématique des cent dernières années a été extrêmement
fructueux et il importe de noter que ce développement a été largement
autonome et point du tout directement conditionné par les applications. C’est
comme jeu libre de l’esprit, soumis seulement à ses propres contraintes, que
la mathématique se conçoit : à ce point de vue, elle se veut science hors de la
science. Si les applications ont été particulièrement riches, elles sont venues
bien souvent par surcroît. Il est paradoxal de voir ce jeu en apparence gratuit
des mathématiciens mordre de plus en plus profondément sur le réel et lui
conférer son intelligibilité.

Je voudrais donner quelques exemples : la théorie des matrices née, avec Cayley, Hermite, etc, de préoccupations purement algébriques a fourni son
premier instrument à la mécanique quantique et a envahi la technique. La
géométrie riemannienne, créée par Riemann, savamment élaborée dès 1900
par Ricci et Levi-Civita, a fourni à Einstein un cadre tout prêt à accueillir
la relativité générale. La théorie des représentations des groupes, fille en ligne
lointaine de Galois, de Lie et d’Élie Cartan nous sert aujourd’hui, selon Wigner,
à décrire les particules élémentaires connues ou encore inconnues.

Ailleurs aussi, dans le domaine biologique comme dans le domaine social,
les mathématiques progressent en raffinant les instruments plus anciens, en
élaborant des outils nouveaux. Probabilités, statistique mathématique, théorie
des jeux ont fourni à des problèmes importants, les plus importants peut-être
pour notre vie sociale, des techniques communes et parfois un cadre unique
de pensée. Prenons par exemple la théorie des jeux ; elle a débuté vers 1935
avec les travaux systématiques de von Neumann et elle s’est révélée depuis
lors, avec les concepts de stratégie, d’optimalisation, d’information qui se
sont trouvés introduits, un extraordinaire instrument d’intelligence du réel
et de l’action. Nous jouons tous, le physicien joue avec la nature, le chef de
grandes entreprises ou l’auteur de plans quinquennaux joue avec les phénomènes
économiques. Nous jouons tous et nous voulons élaborer des stratégies
qui, compte tenu de notre information à chaque instant, nous donnent
le maximum de chances de gagner.
Nous commençons à disposer des éléments d’une analyse des conduites
rationnelles et dans l’exploitation de cette analyse, les ordinateurs jouent leur
rôle. Certes, et il convient d’y insister, cette approche ne dicte pas les solutions
aux problèmes de l’action, mais elle indique les choix réellement possibles
et leurs implications dans une prévision à court terme, de l’ordre de quelques
années. Au delà, la recherche scientifique elle même qui se révèle comme le
plus important facteur de développement, mais aussi d’instabilité, de notre
univers quotidien s’oppose à toute prévision sérieuse : sur trente ans, il nous
est impossible de présumer avec succès les résultats de notre travail

III. - Enseignement.

Ainsi, au cours du dernier demi-siècle, le paysage scientifique tout entier,
certes, mais tout particulièrement le paysage mathématique se sont profondément
modifiés. L’ambition des mathématiques, leur rigueur, leur puissance
manifestée à travers l’étendue et la diversité des applications sont devenues
radicalement différentes. Il s’agit là d’une véritable mutation intellectuelle
qui s’est produite à un rythme dépassant de fort loin le renouvellement des
générations humaines et, partout dans le monde, nous nous trouvons affrontés
à un problème fondamental mais difficile : il nous faut désormais préparer nos
enfants et nos étudiants à comprendre et à utiliser ce que soit devenues les
mathématiques de notre temps.

Cela n’est pas nécessaire seulement pour les futurs mathématiciens, ce l’est aussi pour le futur ingénieur, économiste, chercheur en génétique ou en
psychologie, ce l’est, dirai-je, pour les futurs citoyens quels qu’ils soient, si
nous voulons qu’ils se meuvent avec naturel et sans méfiance dans le monde
d’aujourd’hui, qu’ils se servent des instruments nouveaux et puissants mis à
leur disposition, qu’ils recourent aux schèmes de pensée qui peuvent conduire
utilement leurs démarches.

Le problème des mathématiques et de leur enseignement est devenu
ainsi le premier peut-être, des problèmes mondiaux de l’éducation et ce n’est
certes pas un hasard si, dans la plupart des pays, une évolution plus ou moins
brutale du contenu et des méthodes de l’enseignement s’est développée au
cours des dernières années et continue à se poursuivre. Cette évolution se
trouve en étroite interaction avec un autre phénomène mondial qui atteste
l’importance du rôle joué par les mathématiques dans la société contemporaine ;
il s’agit de ce qu’on a appelé la pénurie mondiale de mathématiciens, qui se
manifeste quel que soit le sens large ou étroit que l’on donne au terme de
mathématicien. L’acuité avec laquelle les nations ont pris conscience de ce
phénomène et l’énergie qu’elles déploient pour le vaincre sont des indices
sûrs de son importance. Élever le niveau mathématique moyen de ses membres
et former suffisamment de mathématiciens qualifiés sont devenus des impératifs
de toute société soucieuse de ses possibilités de développement.

Certains pourront dire : les mathématiques qui nous importent sont les
mathématiques dites classiques qui suffisent bien aux applications. Il n’en
est rien ; nous avons vu que les mathématiques contemporaines sont infiniment
plus applicables
, plus riches d’applications dans le double domaine des sciences
exactes et des sciences humaines que la démarche dite classique ; en fait, dans
les secteurs de pointe, ce sont elles qui sont utilisées. Mais une grosse difficulté
se présente : beaucoup de nos collègues des autres disciplines, formés il y a
quelque trente ans, ignorent tout des mathématiques contemporaines et de
leurs ressources.

Il nous faut à la fois favoriser l’évolution au sein d’une génération et
travailler à la mutation nécessaire d’une génération à l’autre. Apprendre aux
non mathématiciens à se servir avec efficacité des différentes techniques mathématiques
disponibles est devenu un véritable service public. Il importe de
noter qu’il ne s’agit pas là pour les mathématiciens de défendre une sorte
« d’impérialisme », que s’il y a peu de disciplines qui désormais ne font aucun
recours aux mathématiques, les mathématiques ne suppléent jamais, à elles
seules, aux pensées nécessaires. Savoir se servir correctement des mathématiques
consiste aussi à ne pas leur faire dire plus qu’elles ne peuvent, à mettre en
pleine lumière les présupposés, propres à chaque discipline, de leur intervention.

On voit quelle est l’influence et quelles sont les difficultés du problème de
l’enseignement des mathématiques. A l’échelon du second degré, presque
partout dans le monde, l’enseignement a gardé un style trop historique ;
chaque partie des mathématiques est exposée en évoquant la conception
qui fut contemporaine de sa naissance, ici renouvelée des grecs, bénéficiaire là de l’état d’esprit des XVII° et XVIII° siècles. Ces conceptions ne sont pas unifiées
dans l’esprit de nos élèves qui se voient contraints à de douloureux déconditionnements.
Il leur faut à plusieurs reprises repenser l’ensemble de leur acquis,
à l’aide de concepts qui ne peuvent que leur sembler étranges, exprimés dans
un langage autre, langage non seulement différent, mais portant une pensée
neuve. L’obstacle fondamental à un enseignement de type historique semble
être cette caractéristique des mathématiques dont j’ai parlé, de se repenser
elles-mêmes tout entières à chaque instant. Il n’y a pas, il ne peut y avoir
une conception confortable et définitive des mathématiques dites élémentaires,
fin en soi, perfection fermée sur elles-mêmes, une conception qu’il suffirait
d’affiner uniquement à la lumière d’expériences pédagogiques. Certaines
branches naguère prestigieuses qui ne débouchent ni sur des concepts, ni sur
des techniques des mathématiques contemporaines sont condamnées à disparaitre
partiellement de notre enseignement, ou à ne plus être que matière
à exercices.

Il importe de noter la relativité de la notion de naturel ou de concept
clair et distinct. Celle-ci est fonction de toute notre expérience mentale antérieure.

Il faut bien souvent craindre de ne trouver naturel, ou proche de l’évidence,
que ce à quoi, nous professeurs sommes habitués, ce à quoi nous avons
nous-mêmes été partiellement conditionnés. Il y a un « naturel » du professeur
qui ne coïncide, ni avec une évidence propre aux mathématiques, ni avec l’évidence
de l’élève. Le simple, le clair ou le concret n’est trop souvent que le
familier ; mais à travers les mutations d’un enseignement, à travers l’expérience
quotidienne aussi, le familier évolue. Il y a là une constatation somme toute
réconfortante : elle nous assure que, dans notre enseignement, nous jouissons
en fait d’une liberté plus grande qu’il n’apparaitrait au premier abord. Et le
caractère de naturel ou d’évident ne doit pas être décrété a priori, mais doit
faire l’objet à chaque instant d’études expérimentales, patientes et détaillées.

La qualité d’un enseignement, la possibilité de mutations soigneusement
élaborées repose en premier lieu sur les maîtres qui dispensent cet enseignement
mathématiques. J’irais volontiers jusqu’à affirmer que désormais les
maitres de mathématiques ont pris place parmi les hommes les plus importants
de notre société, ceux qui conditionnent étroitement son avenir. C’est de leur
nombre, de leur qualité intellectuelle et morale, du sens profond qu’ils ont
de leur vocation que beaucoup de choses dépendent. L’action de l’État doit
partout porter d’une part sur la formation et le perfectionnement continu
des maitres, d’autre part sur l’exploration, à partir d’expériences, de nouvelles
méthodes d’enseignement pour tous les degrés.

J’ai essayé de donner quelque idée de l’importance et de la complexité
des problèmes posés par l’enseignement des mathématiques. Il est clair qu’à
ces problèmes il n’est point de solution miracle. Seul un effort continu, s’étendant
sur de nombreuses années, peut, étape par étape, modifier profondément
la situation présente. Cette action systématique qui intéresse tous ceux qui,
du premier degré à l’université, enseignent les mathématiques devrait être
engagée partout sans retard, mais sans précipitation.

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