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À la recherche de la PREUVE en mathématiques

par Hervé Lehning.

BELIN. Pour la Science, juillet 2009,

128 p. en 15× 21,5, 18 €.

Cet ouvrage, petit dans sa forme mais vaste
par toutes les questions qu’il aborde rassemble
un grand nombre d’exemples tirés
pour l’essentiel de récréations mathématiques
et utilisant des connaissances enseignées
au collège. Son objectif est de dégager
et classer les principales techniques de
preuve et de donner les outils nécessaires
aussi bien aux amateurs curieux qu’aux
lycéens pour achever les preuves de leurs
assertions. alors que peu de livres traitent
ce sujet dans notre pays.

Il comporte treize chapitres encadrés par
une préface et une postface

  1. Déduction et logique mathématique
    (Assertion et combinaison d’assertions,
    Réciproque et contraposée, Syllogisme,
    Méthode axiomatique).
  2. Exhaustion des cas (Souci d’élégance,
    Tableaux pour gérer des données complexes,
    Utilisation d’un ordinateur).
  3. Analyse et synthèse (Méthode algébrique,
    Importance de la réciproque, Maths
    et magie, recours à l’absurde, Effet GIGO).
  4. Méthode de Descartes (Carrés magiques,
    Scinder les difficultés, Cryptarithmes).
  5. Découpages et coloriages (Preuves sans
    paroles, Ennui mais nécessité des réciproques,
    Généralisation de Pythagore, Une
    méthode générale de découpage, Paradoxe
    de Lewis Carroll, Découpage en algèbre).
  6. Invariants (Quoi de neuf, Algorithme
    d’Euclide, Descente infinie).
  7. Principe de l’extremum (Problème de
    Sylvester, jeu de Nim, Algorithmes gloutons).
  8. Induction et récurrence (Lapins de
    Fibonacci, Algorithmes itératifs, Preuve
    d’un algorithme, Dénombrements, Invention
    d’un théorème, Surprenante efficacité
    des mathématiques).
  9. Principe des tiroirs (Trouver les tiroirs,
    Mettre les restes en boîtes, Tiroirs en géométrie,
    Nombres de Ramsey).
  10. Transport de propriétés (Zéros des
    polynômes).
  11. Usage de l’infini (Développement décimal
    illimité, Suite de Fibonacci, Approximations
    successives de $\sqrt{2}$ , comptage
    des blancs dans une phrase).

Le texte est d’une grande limpidité, les
figures sont nombreuses et très claires.

La très grande culture mathématique de l’auteur
l’a dispensé de donner une courte
bibliographie et un index qui auraient facilité
la recherche d’un thème ou de développements
complémentaires.

Ce livre attachant rendra de grands services
non seulement aux lycéens ou aux amateurs,
mais aussi à tous les étudiants de
licence ou de classes préparatoires pour raisonner
logiquement et trouver des démonstrations
belles et complètes et aux candidats
au CAPES pour enrichir leurs exposés
d’ exemples féconds.

Paul-Louis HENNEQUIN

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