À propos de l’article « Variations sur un mini-problème de géométrie » du n° 432

courrier des lecteurs

1. Voici une autre recherche, due à Georges Lion, du minimum de $MA^2 + MB^2$ lorsque MA + MB est constant  :

Soit la figure 1.
Partageons les rectangles MBFE et EGDK par une diagonale et plaçons les triangles obtenus comme l’indique la figure 2. MNPQ est un carré et $a^2 + b^2 = 2 \Omega M^2$ .
Or $ \Omega M ≥ \Omega I$. Le minimum est donc atteint pour MA = MB.

2. Utilisation d’une affinité orthogonale pour relier un triangle quelconque à un triangle rectangle isocèle.

L’affinité proposée p. 36 n’est généralement pas orthogonale.
L’un des derniers « exercices », n°52 page 151, du livre « Géométries du plan » de Georges Lion (cf. Bulletin n° 433, pages 271-273) demande d’établir l’existence d’une affinité orthogonale.
Idée-clé : Agrandir ABC en un triangle homothétique (rapport k) ADE. Il existe une ellipse, inscrite dans ce triangle ADE tangente aux côtés en B, C et F milieu de [DE].
Cette ellipse est transformable en cercle par affinité orthogonale. Il s’agit de choisir k (niveau de recherche : collège et c’est intéressant) pour que ABC soit alors transformé en triangle rectangle isocèle.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)