« ALGÈBRE LINÉAIRE. COURS ET
EXERCICES (corrigés). CAPES &
AGRÉGATION »,.
par Henri ROUDIER
Éd. VUIBERT. Deuxième édition, « revue et
augmentée ».
704 pages en 17 × 24. Présentation excellente. Abrégé des notations. Bibliographie utilisable. Bon index. Table des matières
détaillée.
ISBN : 2-7117-8966-7.

• Voici un nouveau « ROUDIER », de grande
qualité comme les précédents. Il sait allier à
merveille l’excellence dans les théories, l’art
de les lier aussi intimement que possible à
des applications, le constant souci des
conseils pédagogiques et des aides à la lecture (indications de pré-requis, de textes que
l’on peut sauter en première lecture, commentaires et éclairages variés, …).

• Dans cette optique, la structure de l’ouvrage « expose le plus tôt possible le calcul et les
applications. Les concepts sont donnés
lorsque la pratique montre qu’il n’est plus
possible de faire autrement ». De là onze premiers chapitres qui vont de la structure d’espace vectoriel et des relations linéaires aux
changements de base, en explorant, au passage, le calcul matriciel, les K-algèbres, l’algorithme du pivot, la résolution des systèmes
linéaires, … Suivent six chapitres d’approfondissement clos par une belle étude sur les
déterminants, puis trois chapitres sur la
réduction avec mise en valeur (c’est nouveau) de la notion de polynôme minimal. Les
six autres chapitres ramènent à la géométrie
euclidienne (l’affine n’est pas traitée : l’auteur précise qu’elle mérite mieux qu’une
simple annexion dans un traité d’algèbre
linéaire…) et à ses transformations-clés ainsi
qu’à ses formes bilinéaires. Cela prend 558
pages, où chacun des 26 chapitres est clos
par de bons exercices corrigés avec soin.
• 123 autres pages sont consacrées à 23
« études » particulières (n° 7 : homothéties
vectorielles ; n° 12 : théorèmes de Cayley-Hamilton-Frobenius ; n° 19 : champ des
vitesses d’un solide en mouvement ; n° 23 :
quaternions de Hamilton).
• Une POSTFACE de quatre pages est une
belle méditation sur des concepts fondamentaux : penser les fonctions comme étant des
vecteurs, notion de dimension (« qui s’abstrait du sensible pour le penser »), notion de
linéarité, interprétations du calcul matriciel,
…

• Je ne résiste pas au plaisir de vous inviter
à savourer quelques lignes de la
« CONCLUSION »  :
– … « … l’algèbre linéaire se construit
contre la géométrie : elle en prend les
concepts pour les reconstruire mais dans le
même mouvement elle va contre la représentation des choses que celle-ci impose. […].
Mais elle permet d’introduire “ l’esprit de la
géométrie ” là où on ne l’attend pas et donc
de penser concrètement des espaces que tout
a priori tenait éloignés de la géométrie… ».
– « Le calcul est absolument utile, mais rester dans le seul calcul peut devenir une source d’interprétation. À l’inverse vouloir s’attacher à une seule de ces interprétations est une
erreur pratique.
Faire des mathématiques suppose l’inverse :
un objet peut en représenter un autre […].
Penser revient alors à repérer les liens tissés
par ce mode de représentation. L’intelligence
de l’objet suppose que l’on renonce à le
représenter pour le penser. D’aucuns diront
que cela est condamnable. Leur erreur est de
confondre l’imaginaire et l’imagination ».