AMIENS - Exercice n° 1
Thème : ARITHMETIQUE, GEOMETRIE PLANE
Série concernée : S
ENONCE
Les oiseaux
Initialement, $n$ oiseaux se trouvent chacun au sommet d’un poteau, ces $n$
sommets formant un polygone régulier à $n$ côtés. Lorsqu’ils sont apeurés, ces
oiseaux s’envolent. Puis après quelques temps, ils reviennent se poser sur les $n$
poteaux, mais pas nécessairement à leurs positions initiales.
Deux oiseaux ne peuvent pas se poser sur le même poteau.
On dit que $n$ oiseaux forment un groupe de « bons géomètres » lorsque, quelles que soient les positions avant et après l’envol, on peut trouver trois oiseaux (parmi les $n$) qui forment, avant et après l’envol, deux triangles
- soit tous deux rectangles ;
- soit tous deux acutangles (triangle dont les trois angles sont aigus).
Par exemple, pour $n = 3$, on peut schématiser le problème de la façon suivante.
Appelons A l’oiseau posé en A avant l’envol. Sa position une fois reposé sera
notée A’.
| Avant l’envol, les oiseaux A, B, C forment un triangle acutangle | | | Après l’envol, les oiseaux peuvent se reposer selon plusieurs combinaisons, par exemple : |
| | | | |
| | | Dans tous les cas, le triangle A’B’C’ est acutangle. |
Ainsi, 3 oiseaux forment un groupe de « bons géomètres ».
On rappelle que tous les polygones sont inscrits dans un cercle.
- Vérifier que 4 oiseaux forment un groupe de « bons géomètres ».
- Pour $n = 5$, donner une position initiale et une position d’arrivée qui justifient que 5 oiseaux ne forment pas un groupe de « bons géomètres ».
- Pour $n = 6$, les sommets des poteaux forment un hexagone régulier.
Montrer qu’il existe toujours 3 oiseaux qui, avant et après l’envol, forment un triangle rectangle.
Que peut-on conclure quant au fait que 6 oiseaux forment ou non un groupe de « bons géomètres » ? - Montrer que si $n$ est pair, $n$ oiseaux forment nécessairement un groupe de « bons géomètres ».
