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Analyse comparée de deux sujets traités par des ateliers

une façon d’introduire les coefficients binomiaux dans le cadre du nouveau programme de première par des élèves de Seconde de Math en Jeans.

Pierre Grihon

Mon propos est de comparer deux sujets MathEnJean qui ont donné lieu à des exposés et des articles ayant un contenu mathématique consistant. Aucun des deux n’était en relation avec la recherche actuelle, et on ne pouvait pas attendre des élèves de découverte sensationnelle : on savait plus ou moins ce qu’ils pouvaient trouver. Cela n’est pas gênant : ce qui compte c’est que les élèves soient en situation de recherche, exploitent leurs idées et élaborent leurs propres méthodes. C’est d’ailleurs là que réside le principal écueil quand on pose des sujets complètement résolus : les professeurs doivent résister à l’envie bien naturelle d’orienter les élèves vers des pistes dont ils savent qu’elles « débouchent ».

Premier sujet

Combien de points faut-il pour définir une courbe ?

Ce sujet a été posé en 2006 à des élèves de première S et terminale S.
À première vue, c’est un sujet passionnant, dont nous savons en tant que professeur qu’il a beaucoup de « profondeur ».

- 1) Début de la recherche

Le groupe a commencé par des cas très simples : droite et segment.
Ensuite, très vite, ils ont pensé à la parabole dont ils avaient entendu parler en cours.
Ils ont rapidement vu qu’il fallait au moins trois points non alignés, mais qu’en général cela ne suffisait pas et qu’en revanche dans un repère bien choisi cela suffisait.
Ils ont alors trouvé l’équation cartésienne de la parabole sans grande difficulté.
Ils ont appris, sans doute par un professeur, qu’il existait une définition géométrique.
Ils ont donc mis en relation cette définition et l’équation cartésienne trouvée précédemment.

- 2) Premiers piétinements

L’étude de la parabole a pris un mois environ et a été exposée au premier séminaire.
Ensuite, pendant plusieurs séances, le groupe a cherché quelles courbes ils pouvaient explorer.
Les autres coniques ne les ont pas trop tentés. Ils voulaient en fait étudier des courbes quelconques…
Le découragement gagnait. Après concertation avec le chercheur, deux pistes balisées étaient possibles : l’interpolation de Lagrange ou les courbes de Bézier.
L’interpolation ressemblait en plus compliquée à la parabole. On a donc décidé de les orienter vers Bézier. Mais ils ne pouvaient pas en quelques semaines « découvrir » tous seuls le principe de ces courbes. Il a donc fallu le leur expliquer.

- 3) Redémarrage

Après cela, ils ont exploré les cas avec deux, puis trois points et ont buté sur la généralisation.
Il a fallu là-aussi leur donner un coup de pouce. Les élèves de TS avaient un avantage et ce sont eux qui ont élaboré la preuve de la formule.
On espérait qu’ils pourraient ensuite mettre cela en application sur ordinateur, mais ils n’avaient pas vraiment les compétences en Géoplan ; c’est donc un professeur qui l’a fait.

- 4) Réalisations

Finalement, leur exposé avait de la substance et la mise en oeuvre sur Géoplan était très spectaculaire. Cela a donc été de ce point de vue une réussite.
L’article a été écrit et diffusé sur le site de MEJ très rapidement car il était impeccable.

- 5) Bilan

On est revenu du congrès très satisfaits de nous et des élèves…
Mais en discutant avec ces derniers, il a fallu déchanter. Une grande partie d’entre eux avait participé à l’atelier l’année d’avant et avait étudié des marches aléatoires sur la droite et dans le plan, sans aucune connaissance en probabilité, puisqu’ils étaient en seconde. Ils avaient développé des outils certes bien classiques en terminale, mais entièrement seuls et en avaient retiré une légitime fierté.
Leur frustration était patente. Je rapporte leur réflexion qui résume bien ce que je veux exprimer : « Vous nous avez tout dit, nous n’avons fait qu’exécuter ».
Avec le recul, ce sujet est un excellent sujet de TPE, mais pas un bon sujet de recherche MEJ.
Le bilan n’en est donc pas négatif d’un point de vue mathématique, car les élèves ont appris beaucoup de choses.
On trouvera dans l’Annexe 1 un extrait significatif du travail des élèves. Lire cette annexe

Deuxième sujet

Dans une ville côtière, les rues sont toutes nord-sud ou est-ouest et la distance entre deux carrefours voisins est toujours la même. La plage est au sud-est. Pour aller à la plage depuis sa maison, Paul prend une pièce et à chaque carrefour tire à pile ou face. S’il obtient pile, il prend la rue vers le sud, sinon il prend la rue vers l’est. Il arrive à la plage après n lancers. Combien de chemins possibles peut-il faire ? Combien de chances a-t-il d’arriver en un point donné de la plage ?

Ce sujet a été posé en 2007 à des élèves de seconde, qui n’avaient donc aucune connaissance en dénombrement et probabilités.
Bien entendu, ce sujet est du niveau du cours de TS et on peut trouver qu’il n’est pas bien dans l’esprit « math en jeans ».
Mais l’objet de cet article est de montrer que les élèves peuvent faire acte de recherche sur un tel sujet, aussi bien que sur un sujet ouvert.
Cela suppose que le groupe constitue un « système isolé », sans aide extérieure autre que celle, contrôlée, des professeurs et du chercheur et que les élèves ne cèdent pas à la tentation de puiser des informations sur Internet par exemple.
L’expérience prouve que c’est toujours le cas : ils n’éprouvent aucune envie de rompre le pacte qu’ils ont plus ou moins implicitement avec nous et avec eux-mêmes. On est bien dans une toute autre logique que celle du cours traditionnel.

- 1) Début de la recherche

Comme les y invitait le sujet, les élèves ont commencé par chercher le nombre total de chemins et ont tout naturellement essayé des petites valeurs de n. Ils ont très vite constaté qu’ils trouvaient des puissances de 2. Leur méthode de comptage pour passer par exemple de 4 à 5 les a mis sur la piste de « l’hérédité ». Comme ils ne connaissaient pas le principe de récurrence, ils m’ont demandé si le fait de prouver cette hérédité démontrait leur conjecture.
Je leur ai donc parlé de ce principe. Mais ils avaient juste besoin de savoir si c’était une vraie démonstration.

- 2) Découverte des coefficients binomiaux

Après avoir patiemment calculé les nombres de chemins arrivant à un point donné de la côte pour $n \leq20$, en utilisant toujours le même principe (voir schéma ci-contre) ils ont conjecturé les valeurs de $\left( \begin{array}{c} n\\ 0\\ \end{array} \right) $, $\left( \begin{array}{c} n\\ 1\\ \end{array} \right) $ , $\left( \begin{array}{c} n\\ 2\\ \end{array} \right)$ et, c’est là que nous avons été assez épatés, ils ont conjecturé $\left( \begin{array}{c} n\\ k\\ \end{array} \right) $, qu’ils ont ensuite démontré par récurrence (qu’ils commençaient à bien maîtriser !)

- 3) Généralisation à la binomiale de paramètres n et p

Ayant achevé leur travail alors qu’il restait deux mois, ils ont voulu compliquer en jouant aux dés au lieu de pile ou face. Ils ont alors eu une idée très originale : distinguer les chemins (toujours au nombre de $2^n$) menant à la plage, des « suites de dés » différentes pour y parvenir en jouant.
Si par exemple, on décide que 1 ou 2 nous font aller à l’Est et 3,4,5,6 vers le Sud, les deux suites de dés 1,2,4,4,5 et 2,1,3,4,6 donnent le même itinéraire.

Ils ont donc trouvé $6^n$ suites de dés différentes. Donc en multipliant leur nombre de chemins pour arriver à un point donné par le nombre de suites de dés y menant, soit $4^{k}2^{n-k}$, et en divisant par $6^n$ ils ont obtenu la formule connue !
Ayant remarqué alors qu’elle pouvait s’écrire $\left( \begin{array}{c} n\\ k\\ \end{array} \right)p^{k}(1-p)^{n-k}$ , où p représentait pour eux la chance d’aller vers l’Est, ils n’ont pas eu de mal à terminer leur généralisation (intuitive) à une pièce de monnaie quelconque
Ce qui est intéressant dans cette démarche est qu’ils n’utilisent à aucun moment l’indépendance des tirages dont ils ignorent évidemment le sens mathématique, mais uniquement du dénombrement et l’hypothèse (non formulée) d’équiprobabilité des suites de dés.
Ci-joint en annexe 2 un extrait de l’article écrit par les élèves et uniquement par eux. Lire cette annexe

Conclusion

Il est clair que le premier sujet est plus ambitieux que le deuxième et surtout plus « ouvert ».

Mais leur mise en oeuvre a montré que le véritable acte de recherche a été réalisé dans le deuxième : il a fallu pour cela que l’équipe d’enseignants joue le jeu de bout en bout en ne dirigeant pas les élèves dans telle ou telle voie.

En posant des sujets encore ouverts où les professeurs n’en savent pas plus que leurs élèves, les chercheurs peuvent faciliter ce type de réussite. Mais, outre le fait que les sujets ouverts accessibles à des élèves ne sont pas nombreux, ils peuvent s’avérer décevants si les élèves se trouvent trop vite à court d’inspiration et qu’il soit alors nécessaire de les aider pour sauver l’année.

(*) Lycée Montaigne, Bordeaux. pgrihon@free.fr