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Annexe 4 de l’article Maths-SES

- 31 mars 2009 -

Annexe 4 : Corrigé du TD commun MATH SES

 :

Exercice 1 : calcul de taux et de TCAM

I –Partie mathématique :

1) Quel est le taux d’évolution du PIB annuel des Etats-Unis en 1994 ?
Comparer avec celui de 2004.
Le taux d’évolution du PIB des Etats-Unis en 1994 est de 4 %, en 2004 il est de 4,2 % donc un écart de 0,2 point.
- Les comparaisons des taux se font en «  points », la donnée d’une différence en % (0,2 %) ne peut correspondre qu’à une variation relative des taux.
- (En SES , il est souhaitable d’indiquer au niveau de la phrase de présentation qu’il y a eu une augmentation du PIB de 4%, en 1994 ; ce qui par rapport à l’augmentation du PIB en 2004 de 4,2% représente un écart de 0.2 points.)

Expliquer pourquoi le taux d’évolution du PIB annuel entre 1994 et 2004 n’est pas obtenu par la formule : $ {\frac{V_{A}- V_{D}} {V_{D} }= {\frac{4,2- 4,0} {4,0}}$ .

Les données du graphiques sont des taux d’ évolution relevés chaque année , on ne peut donc pas raisonner directement sur les valeurs du PIB en 2004 $( V_{A} ) $ et en 1994 $( V_{D}) $ car on ne les connaît pas !

2) Par lecture graphique, compléter le tableau suivant (on donnera les valeurs des taux à 0,1 % près)

année 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Taux d’évolution du PIB annuel des Etats Unis (en %) 4,0 2,7 3,5 4,4 4,3 4,1 3,8 0,3 2,5 2,9 4,2
Coefficient multiplicateur correspondant 1,04 1,027 1,035 1,044 1,043 1,041 1,038 1,003 1,025 1,029 1,042
Taux d’évolution du PIB annuel de la zone euro (en %) 2,3 2,2 1,4 2,3 2,8 2,8 3,8 1,6 0,9 0,5 1,8
Coefficient multiplicateur correspondant 1,023 1,022 1,014 1,023 1,028 1,028 1,038 1,016 1,009 1,005 1,018
Taux d’évolution du PIB annuel du Japon (en %) 1,0 1,6 3,5 1,8 -1,1 0,1 2,8 0,3 0,2 2,7 1,8
Coefficient multiplicateur correspondant 1,01 1,016 1,035 1,018 0,989 1,001 1,028 1,003 1,002 1,027 1,018

3) Déduire du tableau le taux d’évolution entre 1994 et 2004 du PIB annuel de chacun des cas étudiés ( Etats Unis , zone euro et Japon )

Le coefficient multiplicateur associé au taux d’évolution est obtenu en multipliant les coefficients multiplicateurs :
Etats Unis : 1,04x1,027x1,035x1,044x1,043x1,041x1,038x1,003x1,025x1,029x1,042 x 1,43 soit un taux de croissance de environ 43 %
Zone euro : 1,023x1,022x1,014x1,023x1,028x1,028x1,038x1,016x1,009x1,005x1,018 x 1,25 soit un taux de croissance de environ 25 %
Japon : 1,01x1,016x1,035x1,018x0,989x1,001x1,028x1,003x1,002x1,027x1,018 1,17 soit un taux de croissance de environ 17 %

(En SES même remarque au niveau de la présentation des résultats : la phrase souhaitable doit indiquer qu’il s’agit du taux de croissance du PIB qui est de 43% c’est-à-dire qu’il y a eu une augmentation du PIB de 43% entre 1994 et 2004 aux Etats Unis , même démarche pour les autres.)
4) Déterminer le Taux de Croissance Annuel Moyen du PIB annuel de chacun des cas étudiés entre 1994 et 2004 .
(en fait ce sera, du 1er janvier 1994 au 31 décembre 2004 , soit une période de 11ans ! voir tableau )
Le Taux de Croissance Annuel Moyen est obtenu en considérant le taux moyen constant t % chaque année qu’il faudrait pour passer de la valeur de départ du PIB ($ V_{D} $) à la valeur d’arrivée ( $V_{A}$ ) .

On obtient donc pour chacun des trois cas étudiés : $V_{D} x( 1+ t /100)^{11}$ = $V_{A}$ c’est à dire $( 1+ t/100 )^{11}$ = $\frac {V_{A} } {V_{D} }$ où $\frac {V_{A} } {V_{D} }$ est le coefficient multiplicateur obtenu à la question précédente.

Pour retrouver t, il suffit d’utiliser la formule donnée en SES : (1+ t/100) = $\frac {V_{A} } {V_{D} }^{\frac{1}{11}}$

Etats Unis : $( 1,43 )^{\frac{1}{11}}$ $\approx1,033 $ soit un TCAM de 3,3 % du PIB annuel pour les années 1994 à 2004 .
Zone euro : $( 1,25 )^{\frac{1}{11}}\approx 1,020$ soit un TCAM de 2,0 % du PIB annuel pour les années 1994 à 2004 .
Japon : $( 1,17 )^{\frac{1}{11}} \approx 1,014 $ soit un TCAM de 1,4 % du PIB annuel pour les années 1994 à 2004 .

II- Partie économique :

1) Quel est l’intérêt du calcul de ces trois TCAM ?

Il permet une comparaison globale sur l’ensemble de la période plus facile entre les pays.

2) Quelle limite attribuer au TCAM ? Quelle information supplémentaire apporte le graphique ?

Le TCAM ne donne qu’une valeur moyenne et donc ne permet pas une interprétation en termes de variation. Le graphique permet de donner une idée plus précise des variations de la conjoncture économique.

3) Pour chacun des trois cas étudiés, déterminer et qualifier des périodes mesurées par le taux d’évolution du PIB en utilisant les termes « croissance / expansion / récession ».

Etats-Unis : 1995 : R, 1996-97 : E, 1998-2001 : R, 2002-04 : E.
Zone euro : 1995-96 : R, 1997-2000 : E, 2001-03 : R, 2004 : E.
Japon : 1995-96 : E, 1997 : R, 1998 : D, 1999-2000 : E, 2001-02 : R, 2003 : E, 2004 : R.

Sur l’ensemble de la période, on peut parler de croissance pour les trois pays sachant que dans les trois cas cette croissance est irrégulière. compléments apportés aux élèves : En particulier, on peut signaler la nette rupture qui s’est manifestée d’abord au Japon .Elle s’explique par la crise asiatique , après une période de très forte activité dans les Nouveaux Pays Industrialisés d’Asie (NPIA) devenu un des pôles de la Triade au niveau du commerce attirant les capitaux étrangers (IDE) mais aussi des placements spéculatifs de plus en plus nombreux à l’origine de la crise…Celle-ci a eu des conséquences sur les autres places financières mondiales comme on peut le noter avec cet effet domino (qui rappelle un peu celui de la crise des subprimes aux Etats-Unis depuis). Ainsi les Etats-Unis ont-ils connu un fort ralentissement de la croissance en 2001-2002 ainsi qu’un peu plus tard pour la zone euro …

Exercice 2

Objectifs du TP : actualiser un graphique et en dégager des informations pour une interprétation ( dans l’exemple : croissance du PIB de la France ) . Le graphique est celui du manuel de SES avec des données jusqu’en 1988, que les élèves ont à actualiser avec des données récupérées sur le site de l’INSEE.

Objectifs pédagogiques : Réutiliser les notions de maths et de SES vues en début d’année : indices , taux , TCAM , utilisation des repères semi-log , ajustements , indicateurs de la croissance , PIB … lors d’un cours commun avec la présence des deux professeurs.

Construire à l’aide de ses connaissances en math et SES une réflexion sur la lecture de graphiques.
Mettre en évidence les réponses attendues par chacun des professeurs dans sa propre discipline

1) travail sur les indices

a) par lecture sur le graphique n°1, compléter le tableau suivant donnant l’indice du PIB en France pour les années choisies : Attention à bien graduer l’axe des ordonnées.

année 1885 1910 1913 1950 1985
Indice du PIB base 100 en 1913 50 100 100 150 600
JPEG - 617 ko
évolution du PIB en France, échelle logarithmique

b) Par combien a été multiplié le PIB entre 1865 et 1910 ? ×2
entre 1910 et 1950 ? × 1,5
entre 1950 et 1985 ? × 4

c) la différence des valeurs trouvées pour 1985 et 1950 ( c’est-à-dire : 600 – 150 = 450 ) correspond-elle au taux d’évolution du PIB entre ces deux dates ? expliquer puis donner le bon taux d’évolution.
600-150 = 450 n’est qu’une variation absolue de « point d’indice ». Le taux d’évolution est d’environ 300% ( car le coefficient multiplicateur associé est 4 ) .
Remarque : ce taux peut être aussi obtenu avec la formule $ {\frac{V_{A}- V_{D}} {V_{D} }$ , car on lit des valeurs indicées par rapport à 1913 : elles ont le statut de « valeurs » et non pas de « taux » comme à l’exercice précédent. Le fait qu’elles soient indicées permet de lire directement les taux d’évolution par rapport à l’année 1913 .

d) lire sur le graphique n°2 le montant du PIB en France en milliards d’euros de 2000 pour l’année 1985, puis en déduire avec les valeurs trouvées au a) une estimation du PIB en 1913.
En 1985 le PIB est d’environ 1000 milliards d’euros de 2000. Ce nombre correspond à l’indice 600 avec pour base 100 l’année 1913.
Donc en utilisant un tableau de proportionnalité ( du type de celui de la question suivante) , on retrouve une estimation du PIB en 1913 :$ {\frac{1000x100}{600}$ ≈ 167.
Donc une estimation de 167 milliard d’euros de 2000 pour l’année 1913.

e) A l’aide du résultat obtenu au b) compléter le tableau suivant en utilisant les données du graphique n°2 et des calculs d’indice.

année 1913 1950 1985 1990 2000 2006
Indice du PIB (base 100 en 1913) 100 150 600 710 870 950
PIB en milliards d’euros de 2000 167 250 1000 1190 1450 1590

f ) compléter le graphique n°1 avec les données obtenues pour actualiser ce graphique jusqu’en 2006.

2) étude des propriétés du graphique semi-logarithmique ( graphique n°1 )
a) Quel est l’intérêt d’adopter une échelle semi-logarithmique dans une représentation graphique ? citez au moins deux raisons (manuel de SES page 440
Comparer des nombres dont l’amplitude est grande sur un graphique en « tassant » la graduation sur l’axe des ordonnées , ce qui permet par exemple d’étudier l’évolution d’une grandeur économique sur une longue période.
Lire directement les croissances à taux constant, qui correspondent en repère semi log à des droites.

b-Tracer la droite passant par les deux points correspondant aux indices du PIB de 1860 et 1950, que constatez- vous ? interpréter en terme d’évolution.
La droite tracée ajuste les points du graphique de 1860 à 1950 sauf dans les périodes de guerre, la croissance s’est donc fait à peu près à taux constant pendant toute cette période, avec un doublement tous les 50 ans environ.

c) peut-on dire à l’aide de ce graphique que la croissance du PIB s’est faite à taux constant entre 1950 et 2006 ? interpréter.
Non , car la courbe ne correspond pas à une droite entre ces deux dates : on observe d’abord une progression à taux plus élevé puis à partir de 1980 une baisse de cette progression ( mais ce n’est que le taux d’évolution qui baisse , le PIB continue de croître !)

d) Calculer le TCAM du PIB entre 1950 et 1978 puis faire la même chose entre 1978 et 2006 : comment peut-on qualifier chacune de ces périodes ?

Rappel par rapport aux difficultés de l’exercice 1 : le coefficient multiplicateur associé au calcul du TCAM se fait avec la formule : $\frac {V_{A} } {V_{D} }^{\frac{1}{nombre d'années}}$ sur des valeurs, ici on peut donc utiliser cette formule indifféremment sur les valeurs en milliards d’euros de 2000 ou sur les valeurs indicées ( puisque le coefficient multiplicateur $\frac {V_{A} } {V_{D} }$ reste le même !) , mais il ne faut pas les mélanger dans la formule .

Calcul du TCAM période 1950 à 1978 :
durée : 1978 – 1950 : 28 ans ,
Coefficient multiplicateur : montant du PIB de 78 en milliards d’€ / montant du PIB de 50 = 860 / 250 = 3,44.
Coefficient multiplicateur associé au TCAM sur cette période : $\frac {{860} } {250 }^{\frac{1}{28}}$ ≈1,045 , soit un TCAM d’environ 4,5 %.

Calcul du TCAM période 1978 à 2006 :
durée : 2006 – 1978 : 28 ans ,
Coefficient multiplicateur : montant du PIB de 2006 / montant du PIB de 78 = 1600 / 860 = 1,8.
Coefficient multiplicateur associé au TCAM sur cette période : $\frac {{1600} } {860 }^{\frac{1}{28}}$ ≈1,045 ≈1,022 , soit un TCAM d’environ 2,2 %.

La période 1950-1978 peut être qualifiée à quelques années près de période de forte croissance : période des 30 glorieuses selon J Fourastié .
La période 1978-2006 est celle d’une baisse du taux d’évolution du PIB ce qui signifie une croissance moins forte qu’avant : un ralentissement de la croissance ; Jean Fourastié emploie l’expression : vingt piteuses.
e) Trouver des facteurs qui permettent d’interpréter les résultats mis en évidence par la forme des courbes . vu en cours : le premier choc pétrolier en 73 est le signal de la fin des trente glorieuses , avec une hausse significative du prix des consommations intermédiaires qui se traduit par une progression de l’inflation à laquelle il faut rajouter l’arrivée des baby boomers à l’âge actif : cette augmentation de la population active dans un contexte de crise économique se traduit par une augmentation du chômage qui va elle-même freiner toute reprise de la croissance … à ceci certains peuvent rajouter l’augmentation de la population active dans les années 70 avec l’augmentation de l’activité féminine dans un cadre de développement des services (tertiairisation )…

COMPLEMENTS sur la lecture de ces graphiques

- remarque 1 : sur le deuxième graphique avec une échelle ordinaire l’évolution paraît « linéaire » ( un ajustement affine paraît justifié), cela correspond à une variation absolue constante d’année en année, donc à un taux décroissant (car pour la variation relative, la variation absolue est divisée par une valeur toujours plus grande)

- remarque 2 : les chiffres trouvés et interprétations données précédemment sont-ils en accord avec le graphique suivant ?

1950-2000 1950-1975 1975-1980 1980-1985 1985-1990 1985-1990 1995-2000
Taux d’évolution en % 487,5 229,7 18,6 7,8 17,0 5,7 17,4
TCAM en % 3,6 4,9 3,5 1,5 3,2 1,1 2,7
Croissance/expansion/récession croissance expansion récession récession expansion récession expansion

Les petits écarts observés sont dus à la référence euros de 1999 et euros de 2000 et à l’imprécision du calcul du montant du PIB en 1913 que l’on a fait à l’aide d’une lecture graphique. ( remarque : les données avant 1950 (source MADDISON) ne sont de toute façon que des estimations puisque le calcul du PIB n’existait pas ! ) .

Pour cette période un peu plus longue 1950 – 2000 la croissance du PIB paraît presque affine dans ce repère ordinaire, le repère semi-logarithmique du graphique n°1 permet de mettre en évidence la variation des taux d’évolution et le choc pétrolier de 1973 .