par
Dominique Flament.

Hermann, 2013.

456 pages en 16 x23. Prix : 60 €.

ISBN : 978-2-7056-8811-0.

De Möbius, on connaît le ruban, ou bande, à
une seule face ; et quoi d’autre ? Dominique
Flament vient à point nommé resituer cette
découverte dans l’œuvre d’un mathématicien
allemand du XIX° siècle, exclusivement
tourné vers la géométrie, qui apporta à la
science bien plus que ce ruban qui « appartient
à une théorie des polyèdres qui d’emblée
ne semblait pas devoir pour nous en être
le cadre naturel ».

La structure de l’ouvrage est la suivante :

• Préface, Préambule
  • I. Möbius : un témoin d’exception
  • II. Une œuvre respectable
  • III. Théorie des polyèdres et topologie
    combinatoire
• Partie I – Antécédents :
  • Chapitre 1 : une lente gestation
  • Chapitre 2 : Johann Benedict Listing (1808
    – 1882)
• Partie II – Traduction :
  Corrélation élémentaire et volume d’un
  polyèdre selon Möbius – Préambule
  • Chapitre 3 : August Ferdinand Möbius –
    Théorie de la corrélation élémentaire
  • Chapitre 4 : August Ferdinand Möbius –
    Sur la détermination du volume d’un polyèdre
• Partie III – Annexes :
  • Annexe I – L’Allemagne de Möbius (1790
    – 1868) ; éléments
  • Annexe II – Aspects et morceaux choisis
    de l’œuvre de Möbius
  • Annexe III – Géométrie synthétique, géométrie
    « pure » et géométrie analytique
• Partie IV : Bibliographie ; Index.

La biographie de Möbius est banale, sans
grand relief. Ce personnage réservé, calme,
casanier, poursuit lentement et longuement
une carrière d’enseignant. D. Flament divise
son œuvre en quatre périodes, et centre son
travail sur la quatrième : 1846 -1865, celle où
il élabore une théorie des polyèdres qui
l’amène à contribuer à l’émergence de la
topologie ; il trouve une généralisation de la
formule d’Euler (sur nombres de faces, sommets,
arêtes) aux polyèdres non homéomorphes
à la sphère. Les chapitres 3 et 4
(partie II) sont des traductions (par D.
Flament lui-même) des textes originaux, qui
permettent de vérifier les qualités de pédagogie,
de clarté dans l’exposé, d’un auteur qui
illustre tous ses propos d’exemples bien
choisis (mais pas toujours d’assez de
figures). Les autres chapitres étudient les
relations entre Möbius et ses prédécesseurs,
ses contemporains et ses successeurs ; un
chapitre entier consacré à Listing donne un
bon aperçu des apports de celui-ci. Möbius
apparaît dans un rôle de classificateur, clarificateur,
simplificateur, développeur de théories,
mais aussi créateur de concepts nouveaux,
initiateur, entre autres, de la notion de
dualité. La « préhistoire » de la topologie est
détaillée dans la partie I.

L’annexe II revient sur une période bien antérieure,
mais non moins féconde de l’œuvre
de Möbius : les années 1830, où il fut l’un
des principaux artisans du calcul barycentrique,
l’un des co-créateurs de la théorie des
vecteurs (avec Poinsot, Chasles, …), avec
applications à la statique.

Cet ouvrage est écrit simplement et lisible
par tous ; il n’évite pas certains écueils qui
peuvent, pour certains lecteurs, faire juger
rébarbative la littérature érudite : notes envahissantes,
parfois plus volumineuses que le
texte principal ; longues citations en anglais
ou en allemand, non traduites ; bibliographie
inflationniste : 42 pages !

Mais il apporte
néanmoins un regard affûté sur un mathématicien
méconnu, sur son inscription dans son
époque et son lieu de vie, et sur l’histoire de
domaines des mathématiques pas toujours
mis en avant.