Brochure APMEP n°145 – octobre 2002 – (en association avec la RMS – Revue des Mathématiques de l’Enseignement Supérieur)

Brochure de 128 pages en 17 × 24, denses mais claires.

ISBN : 2-912846-21-8.

Prix public : 9,5 € , adhérent : 6,5 € .

• Voici, hors des pages de présentation de l’APMEP ou de la RMS, la teneur de la brochure n°145 :

• AGRÉGATION INTERNE (corrigés de F. Bertrand).
Première épreuve, essentiellement de calcul matriciel : 17 pages. _ Deuxième épreuve, d’analyse (transformation de Fourier ; convolution ; calculs d’intégrales ; majoration… ; sections hyperplanes du cube) : 14 pages.
Calculatrices autorisées dans les deux épreuves.

• CAPES EXTERNE.
Première épreuve (16 pages TRÈS desnses) (corrigé de J.-L. Grappin et F. Fontanez).
Les notations et l’objectif sont d’abord clairement explicités.
Il s’agit essentiellement d’étudier une équation E(I) : $f(x)=xf'(\frac{x}{2})$ , avec : partie I, une interprétation graphique d’une restriction de E(I) ; parties II et III, recherches de solutions ; partie IV, recherche et traitement d’erreurs ; partie V, un théorème de Borel…
Les questions sont déclarées généralement indépendantes, en désignant avec précision les sous-questions liées.
Deuxième épreuve (14 pages) (corrigé de J. Boulanger et J.-L. Chabert).
« Objectif ; […] étude d’ensembles de polynômes prenant sur certaines parties des valeurs particulières et, notamment, une caractérisation des polynômes prenant des valeurs entières sur tous les nombres premiers ».

• CAPES INTERNE (19 pages) (corrigés de G. Lion). Calculatrices de poche autorisées.
Premier problème : Étude du comportement, en fonction de sa valeur initiale, de la suite $(u_n)$ définie, pour n ≥ 0, par : $ \left\{ \begin{array}{l} u_0=a \\ u_{n+1}=\frac{e^{u_n}}{n+2} \end{array} \right.$
Deuxième problème : « Géométrie dans le plan complexe ». Partie I : Quadrangle orthocentrique ; cercle d’Euler et droite d’Euler d’un triangle ; cercle d’Euler associé à un quadrangle orthocentrique. Partie II : droite dans le plan complexe ; droite de Simson ; application à un quadrilatère inscrit dans un cercle et concours de quatre droites de Simson. En fin de partie I, il était demandé un exemple commenté d’un apport d’Euler (autre que ceux déjà cités) accessible en lycée. G. Lion en propose cinq (indicatrice d’Euler ; caractéristique d’Euler- Poincaré ; fonction exponentielle ; notation exponentielle complexe ; relation « $OI^2 = R^2 − 2Rr$ »)…
On voit que ce problème, magistralement étudié par G. Lion est exploitable tant et plus en lycée !

• CAPES EXTERNE (calculatrice de poche autorisée). 13 pages. Corrigé de J. Dablanc.
Premier exercice, sur les probabilités.
Deuxième exercice : Recherche de l’ensemble des isobarycentres des triangles équilatéraux dont les sommets sont sur les côtés d’un carré.
Problème d’analyse : équation y ′ + 2xy = 1 ; étude d’une solution…
Ici aussi les belles approches de J. Dablanc insèrent tout cela dans un corpus plus qu’ex- ploitable en lycée !

• CAPLP2 INTERNE (18 pages). Corrigé de J.-F. Noël. Calculatrices de poche autorisées.
Exercice 1 : Sommations d’une série numérique en utilisant une suite définie par une intégrale.
Exercice 2 : Variables aléatoires en bac pro.
Exercice 3 : Sommation de séries numériques à partir de séries de Fourier.
Exercice 4 : Aires et limites … associées. Le corrigé commente excellemment ces situations elles aussi exploitables dans le Secondaire…

MA CONCLUSION : On aura pu, par les indications précédentes, déceler à quel point la brochure est à la fois variée et utilisable d’une part pour des mises au point théoriques, d’autre part pour des applications en lycée.
J’ai parlé, chemin faisant, de l’excellence des corrigés en imbrication avec le Secondaire.
Le même qualificatif convient pour les autres.
Chaque étudiant préparant un Concours d’enseignement trouvera partout une nourriture substantielle.
Les enseignants trieront sans doute : il leur en restera assez, quel que soit leur choix, pour parfaire leur culture ou en extraire aisément d’intéressants problèmes pour leurs élèves…, et à bas prix !