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Cours de géométrie.

- 10 novembre 2009 -

par Marc Troyanov.
Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, mars 2009.
372 pages en 16 × 24.
ISBN : 978-2-88074-817-3.

Ce cours est destiné à des élèves ingénieurs ayant les connaissances de base acquises dans l’enseignement secondaire, tant en géométrie vectorielle qu’en algèbre linéaire et qu’en analyse réelle. Il comporte trois parties :
- A. Notions fondamentales.

  • 1. Du point aux vecteurs (parallélogrammes, Thalès, orthogonalité, axiomes de la géométrie, …).
  • 2. Bases de la géométrie vectorielle et géométrie affine (changements de repères, géométrie vectorielle du plan euclidien, orientation du plan et de l’espace, coordonnées barycentriques, géométrie des couleurs, …).

- B. Méthodes vectorielles en géométrie euclidienne.

  • 3. Produit scalaire (aire d’une région plane, mesure des angles, géométrie du triangle, …).
  • 4. Produits extérieur, vectoriel et mixte (faisceaux de droites dans un plan, tétraèdre, trigonométrie sphérique, …).
  • 5. Transformations affines et isométries (compositions, isométries, conjugaison, notion de groupe, …).

- C. Géométrie différentielle.

  • 6. Géométrie des courbes (longueur, abscisse curviligne, courbure, courbes dans R3, développante et développée, courbes définies implicitement, enveloppe d’une famille de courbes planes, …).
  • 7. Surfaces (plan tangent, tenseur métrique, aire, géodésiques, courbures, surfaces isométriques et géométrie intrinsèque, …).

Chaque chapitre comporte une trentaine d’énoncés d’exercices, applications directes du cours ou exemples développés.

Un index contient l’essentiel des concepts rencontrés mais pas tous (aires, axiomes, Chasles, cône, dièdres, dilatation, n’y figurent pas).

La gestion des noms propres est plus anarchique  : certains sont cités avec un concept, d’autres ont droit à une très courte indication biographique.

Une bibliographie recense une quarantaine d’ouvrages publiés entre 1871 et 2009.

Comme le titre l’indique bien, il s agit non d’un traité mais d’un cours pour lequel l’auteur doit effectuer des choix au vu de l’horaire et des attentes de l’auditoire : nous avons ci-dessus détaillé les contenus, remarquant que les coniques ainsi que les polyèdres en sont pratiquement absents.

Par contre grande est la place faite aux outils pour l’ingénieur : géométrie des couleurs, perspective, trigonométrie sphérique, bras manipulateurs de robots, splines et courbes de Bézier, engrenages, surfaces minimales.

Saluons la solidité et la lisibilité ainsi que la qualité typographique du livre et recommandons sa lecture à tous les candidats au CAPES qui y trouveront une mine d’exercices.

Paul-Louis HENNEQUIN