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Cours et exercices d’analyse : Mathématiques spéciales MP-MP*-PSI*-CAPES Agrégation

par Pierre Meunier

CEPADUES- ÉDITIONS, 2014

Voici les deux derniers volumes d’une collection
de sept, dont j’ai recensé le premier,
Arithmétique modulaire et cryptologie, dans
le BV n° 494.

Commençons par quelques remarques générales
 :
la matière de ces deux ouvrages est abondante
et correspond à deux parties importantes
du programme des classes de mathématiques
spéciales MP*. Le cours lui-même est très
solide et les exercices riches et variés permettront
aux candidats à un concours, élèves
de taupe, capessiens, agrégatifs (concours
externe ou interne) de structurer leur préparation
afin de disposer des connaissances
nécessaires pour affronter sereinement les
épreuves tant écrites qu’orales.

L’exposé est progressif et les calculs détaillés
ligne après ligne conduisent infailliblement
au résultat annoncé. Le lecteur est invité de
temps en temps à établir un lemme ou achever
une démonstration. Celui qui n’a pas le
souci de réussir à un concours et en particulier
l’étudiant de Licence ou l’enseignant
aimerait sans doute qu’on lui offre plusieurs
voies d’attaque, qu’on lui laisse plus souvent
le temps de chercher, et que, une fois l’exercice résolu, on lui propose de réfléchir à des
prolongements possibles.

Les notations sont très nombreuses et la plupart
sont usuelles, mais il vaudrait mieux en
donner la liste au début ou à la fin de chaque
volume plutôt que de les rappeler dans le fil
du texte, au milieu d’un énoncé ou d’une
démonstration.

La composition du texte vise à l’économie,
ce qui ne dégage pas suffisamment les points
saillants et les retours en arrière. La typographie
très complexe est élégante à quelques
coquilles près (présence et place des virgules,
barres de fraction obliques, …).

Résumons-nous : deux livres qui vont longtemps
servir de références.

Les équations différentielles

284 pages en 14.5 x 20.5. Prix 22€

ISBN : 978.2.36493.140.4

Dans ce volume, le cours occupe le premier
chapitre et les exercices (plus de 150 sujets
entièrement résolus), les trois autres.

L’introduction présente le livre et donne
quelques rappels de cours (Point fixe d’une
contraction dans un espace métrique complet,
inégalité de Gronwall, décomposition
de Dunford d’une matrice, exponentielle
d’une matrice, diagonalisation d’une matrice
symétrique, racine carrée d’une matrice
symétrique).

  • 1 – Équations différentielles  : cours et
    généralités (Théorème de Cauchy-Lipschitz
    local, théorème de Cauchy-Lipschitz global,
    solution maximale, équations différentielles
    linéaires, Wronskien, méthode de variation
    des constantes, équations à coefficients
    constants, systèmes différentiels autonomes,
    étude autour d’un point d’équilibre, solutions
    approchées, Euler, Runge-Kutta, Jacques
    Bernoulli, Riccati).
  • 2 – Exercices concernant les systèmes différentiels
    linéaires et les équations différentielles
    linéaires scalaires (Utilisation du
    wronskien, utilisation des nombres complexes,
    théorème de Floquet, équation de
    Liapounov, inégalité de Gronwall, théorème
    d’oscillation, potentiel électrostatique, transformation
    de Liouville, équation de Bessel,
    équation d’Airy, théorème d’Heaviside, exercices
    classiques).
  • 3 – Exercices concernant le cas non linéaire
    et les systèmes autonomes (Une équation
    de Riccati, l’équation différentielle autonome
    du pendule, systèmes autonomes
    Hamiltoniens, systèmes autonomes à foyer
    ou à nœud, système prédateurs-proies de
    Lokta-Volterra, système de Lienard, oscillateur
    de Van-der-Pol, systèmes dynamiques de
    Lorenz, exemples illustrant le théorème de
    Poincaré-Bendixson).
  • 4 – Équations différentielles avec conditions
    aux limites
    (Noyau de Green et opérateur
    associé, problème de Sturm-Liouville,
    équations linéaires du second ordre à coefficients
    périodiques, équations de Mathieu)

Le lecteur est invité à valider les études qualitatives
par une résolution numérique appliquant
la méthode de Runge-Kutta, mais sans
aborder les problèmes de stabilité des schémas
explicites et implicites ni sans donner de
figures de l’ensemble des solutions d’une
même équation.

Topologie, analyse fonctionnelle et matricielle.

354 pages en 15x20.5, prix 26€

ISBN : 978.2.36493.146.6

Le livre commence par un vibrant hommage
à René-Louis Baire, initiateur génial et
méconnu de l’analyse fonctionnelle du XX°
siècle.

L’introduction précise comment l’ouvrage
s’articule sur les concepts clés, compacité,
complétude, connexité, et montre que la
topologie fournit un cadre universel et cohérent
à l’analyse qui met en évidence l’interaction
des différentes parties du programme
de mathématiques de MP*.

Les deux chapitres de cours comportent respectivement
une soixantaine et une quarantaine
de propositions intégralement démontrées
sauf parfois un point de détail laissé au
lecteur.

  • 1 – Espaces métriques et espaces normés
    (Espaces topologiques, espaces métriques
    complets, limite et continuité, espaces normés
    complets, algèbres normées, compacts, théorème de Weierstrass-Bolzano, théorème
    de Riesz, espaces métriques connexes, composantes
    connexes, connexes par arcs).
  • 2 – Compléments (Espaces de Baire, applications
    fonctionnelles, distance de Hausdorf,
    applications, fractales de Sierpinski, courbe
    de Von-Koch, norme minimale de Hahn-
    Pflug, norme maximale de Lie, résultats géométriques
    concernant les compacts, théorème
    de Markov-Kakutani, sous-groupes compacts
    de GLn(R), Hausdorffien d’une matrice
    complexe).
  • 3 – Cinquante-six exercices de topologie et
    d’analyse fonctionnelle
    (Exercices généraux,
    caractérisation des normes euclidiennes,
    caractérisation des mesures de
    Dirac, système dynamique discret associé à
    un opérateur orthogonal, polynômes de
    Tchebychev, projections orthogonales, pseudo-
    inverse d’une matrice, identité de
    Parseval, matrice de Hilbert, égalités de
    Mordell, méthodes itératives de résolution
    des systèmes linéaires, rayon spectral, lemme
    de Farkas-Minkowski, minimum d’une
    forme linéaire sur un polyèdre, algorithme du
    simplexe).
  • 4 Six problèmes de révision :
      • 1. Points extrémaux d’un convexe, normes
        jauges, application.
      • 2. Compacité.
      • 3. Calcul fonctionnel.
      • 4. Étude de L1(R).
      • 5. Topologie et analyse fonctionnelle.
      • 6. Topologie et polynômes de Legendre.
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