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DÉCOUVRIR LES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES EN JOUANT AVEC CABRI-GÉOMÈTRE II Brochure APMEP n° 160

par Roger CUPPENS
Tome I : GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE
 [1]

Brochure APMEP n° 160 coproduite par Cabrilog. Très bonne présentation (par
l’auteur…) avec de nombreuses figures.
128 pages en 17 × 24. Sommaire détaillé. Aperçu sur le sommaire du Tome II
(Géométrie elliptique – Géométrie projective hyperbolique). Bibliographie. Index
des macros. Index des sujets.
N° ISBN : 2-912846-37-4.
Prix : public : 10 € , adhérent : 7 € .

La PRÉFACE rappelle d’abord des méthodes de l’auteur :
« découvrir avec l’outil informatique des propriétés des figures géométriques … »
sans, pour autant s’obliger à les démontrer. [Mais il y a souvent d’éclairantes idées
pour cela…],
– « représenter les objets de base (points, droites, cercles, …) [d’une géométrie non
euclidienne] comme des objets de la géométrie euclidienne. Pour ceci, il faut d’abord
donner les outils permettant de tracer ces objets et de réaliser les constructions de
base…
 ».
Mais alors, « quelles sont donc les propriétés des figures euclidiennes qui restent
valables ? » … À la brochure d’y répondre…

Une savoureuse ANNEXE évoque ensuite les affrontements de l’auteur avec la
géométrie hyperbolique ou ce qui en était dit, l’évolution de sa pensée et des angles
d’attaque… En conclusion, l’auteur invite le lecteur « à faire comme [lui] : ne pas
parcourir “ linéairement ” [l’ouvrage], mais une fois acquis les outils de base,
découvrir lui-même son chemin dans ce monde merveilleux…
 ».

• Dans la présentation ci-après des chapitres, j’insisterai donc sur les premiers :

QUINZE CHAPITRES :

Chapitre 1 : INTRODUCTION (4 pages).
Axiomes d’Euclide. De Saccheri et Lambert aux pères de la géométrie hyperbolique :
Bolyai, Gauss, Lobatchevski, une géométrie qui va multiplier les parallèles à une droite donnée passant par un point donné !
Les modèles euclidiens de cette géométrie :
(1) le modèle de Klein (ou « Beltrami-Klein », …) dans lequel « le plan
hyperbolique est l’intérieur d’un cercle [dit “ cercle absolu ”], les points
[hyperboliques] sont les points ordinaires situés à l’intérieur de ce cercle et les droites
[hyperboliques] sont les cordes ouvertes de ce cercle » ;
(2) le modèle circulaire de Poincaré [idem pour le cercle absolu et les points], « les
droites étant soit des diamètres du cercle, soit des arcs de cercle orthogonaux au
cercle » ;
(3) le demi-plan de Poincaré « où le plan hyperbolique est un demi-plan ouvert […],
les droites étant soit des demi-droites du demi-plan perpendiculaires à la droite
frontière, soit des demi-cercles de ce demi-plan centrés sur cette droite ».
Au fil des chapitres, l’auteur précise :
– les intérêts respectifs de ces trois modèles,
– leurs liens (utilisation de « points associés » , passage du (2) au (3) par inversion
ou lorsque le centre du cercle absolu s’éloigne à l’infini),
– l’éventuel intérêt de leur conjugaison.
• Pour la suite, sauf indication expresse du contraire, les études sont faites d’abord
dans le modèle (2)
, puis étendues aux (1) et (3).

Chapitre 2. Points et droites hyperboliques (8 pages). Représentation des droites,
segments et demi-droites ; parallélisme, intersection. En appelant «  centre » d’une
droite le centre de l’arc de cercle euclidien la représentant, caractérisation du
parallélisme de deux droites et des faisceaux de droites à partir de leurs centres.

Chapitre 3. Angles et droites perpendiculaires hyperboliques (6 pages). Le
modèle (2) est « conforme », i.e. l’angle des demi-droites [AB) et [AC) est égal à
l’angle des demi-tangentes en A aux arcs de cercle euclidiens correspondants » et
« deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs centres sont conjugués
par rapport au cercle absolu ». Suivent les notions de perpendiculaire commune à
deux droites parallèles et de bissectrice hyperbolique.
Le modèle (3) est lui aussi conforme puisque déductible par inversion (qui conserve
les angles) du (2). Par contre le modèle (1) ne l’est pas, mais on peut obtenir une
caractérisation des droites perpendiculaires dans ce modèle par un recours à la
conjugaison pôle-polaire.

Chapitre 4. Distance hyperbolique (10 pages), définie par des ln, avec son cortège
de distances associées, la symétrie axiale, le birapport et la division harmonique
hyperboliques…

Chapitre 5. Cercles et cycles hyperboliques (16 pages). Aux cercles hyperboliques
peuvent s’adjoindre deux familles aux propriétés parfois voisines :
– les «  horocycles » centrés en un point du cercle absolu (donc « à l’infini ») ;
– les « hypercycles » d’axe $u$ et de rayon $r$, ensemble des points dont la distance à une
droite $u$ est égale à $r$.
Dans le modèle (2), les cercles, les horocycles et les hypercycles (que l’on peut
désigner sous le nom général de «  cycles ») sont représentés par des cercles ou des arcs de cercle euclidiens. Elles le sont par des ellipses dans le modèle (1).
Suivent les notions de tangente à un cycle, de pôles et polaires par rapport à un cycle,
de cycles orthogonaux, de puissance par rapport à un cycle, d’axe radical, de
faisceaux de cycles.

Chapitre 6. Médiatrices et milieux hyperboliques (18 pages), à partir des
symétries centrales, avec débouchés sur les parallélogrammes hyperboliques, …

Chapitre 7 et 8. Constructions (8 pages) et propriétés élémentaires (12 pages) des
triangles hyperboliques
, avec pas mal de trigonométrie hyperbolique, les
théorèmes de Céva et de Ménélaüs hyperboliques, …

Chapitre 9. Isométries hyperboliques (4 pages), où l’on retrouve les produits de
transformations et les « cas d’égalité » classiques.

Chapitre 10. Polygones réguliers hyperboliques (4 pages), avec de beaux pavages
du plan à la Escher !

Chapitre 11. Longueurs et aires hyperboliques (4 pages), à propos de cercle et
disque, de polygones, …

Chapitre 12. Coniques hyperboliques (10 pages), avec des « lieux classiques ».

Chapitre 13. Constructions à la règle et au compas hyperboliques (6 pages).

Chapitre 14. Géométrie analytique hyperbolique (4 pages).

Chapitre 15. Cas limites (6 pages) pour le modèle (2) : lorsque le centre du cercle
absolu s’en va à l’infini, on obtient le modèle (3) tandis que, lorsque le rayon devient
infini, on obtient le cas euclidien.

QUELQUES PRÉ-REQUIS

Aux outils élémentaires du collège s’ajoutent les propriétés essentielles de
l’inversion et, de préférence, celles des faisceaux de cercles, voire un peu
d’homographie, d’involution et de logarithme népérien… (toutes ces notions sont
étudiées dans les précédentes brochures de l’auteur signalées ci-dessus). La brochure
sera aussi l’occasion de revoir pôles et polaires, birapport, conjugués harmoniques,
… Céva et Ménélaüs, … et un minimum sur les coniques…

DES GÉOMÉTRIES SŒURS

On retrouve, en géométrie hyperbolique, outre les premiers axiomes d’Euclide sur
droite et cercle, une foule de propriétés de l’euclidienne, par exemple à propos des
distances, du triangle (« au plus grand angle est opposé le plus grand côté », cas
d’égalité, droites et cercles associés, …), la symétrie axiale et ses conservations de
distances et d’angles, les caractérisations des médiatrices, bissectrices, les produits
de symétries axiales, rotations, translations, symétries glissées, … les pôles et
polaires, le birapport (avec son expression trigonométrique), …, les structures des
faisceaux de cycles répliquant ceux des cercles, les définitions bifocales des ellipses
et hyperboles, les équations des droites et des coniques, …

DES COUSINAGES

Par exemple,
– Les médianes d’un triangle sont toujours concourantes, mais sans la propriété « des
2/3 ».
– L’absence d’unicité de la parallèle à une droite donnée n’autorise pas la définition
classique du parallélogramme. Mais on peut définir un parallélogramme
hyperbolique
par une symétrie centrale et, dès lors, s’enclanchent des propriétés
euclidiennes classiques, puis un «  losange hyperbolique », voire un « carré
hyperbolique
 ».
– La longueur d’un cercle hyperbolique est $2\pi \sinh r$, l’aire d’un disque $4 \pi \sinh^2 (\dfrac{r}{2})$ et la classique formule de l’aire d’un triangle rectangle $2S = bc$ devient :

$$ \tan (\dfrac{S}{2})=\tanh (\dfrac{b}{2}) \tanh (\dfrac{c}{2}).$$


On retrouve même un équivalent de la formule de Héron…
– Les trois médiatrices d’un triangle hyperbolique appartiennent à un même faisceau
(sans être nécessairement concourantes), mais il existe ainsi un cycle (cercle ou
horocycle ou hypercycle) circonscrit … et, par trois points non alignés passent quatre
cycles circonscrits
(le cycle précédent, plus trois hypercycles) !
– Les bissectrices intérieures d’un triangle hyperbolique ABC sont concourantes
(d’où un cercle inscrit), mais, de plus, la bissectrice intérieure de $\widehat{A}$ et les
bissectrices extérieures de $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ appartiennent à un même faisceau…
– Le théorème de Céva se maintient, en géométrie hyperbolique, grâce à une
expression trigonométrique (qui, du coup, valorise la trop délaissée expression
trigonométrique en géométrie euclidienne) et en remplaçant « concours » par
« faisceau »… D’où, d’ailleurs, un « théorème de Ménélaüs hyperbolique », et … les
points de Gergonne et de Nagel

D’AGUICHANTES DIFFÉRENCES

Par exemple :
La distinction originelle bien sûr : Par un point pris hors d’une droite ∆ , il y a une
infinité de droites parallèles à ∆ , deux « asymptotiquement parallèles » et les autres
« strictement parallèles ».
L’inexistence de rectangles hyperboliques.
La somme des angles d’un triangle toujours inférieure à 180° … et cette somme
peut même, en rapprochant les sommets du triangle du cercle absolu, être rendue
aussi petite que l’on veut…
Tous les triangles semblables sont égaux.
– Il y a une infinité dénombrable de pavages du plan hyperbolique par des polygones
réguliers…
– En géométrie hyperbolique, la quadrature du cercle est possible !

UNE BROCHURE PASSIONNANTE !

L’ouvrage a bien des mérites :
– une riche vision de la géométrie hyperbolique,
– une claire explicitation à travers les trois modèles clés,
– une fréquentation renouvelée de la géométrie euclidienne qui met en valeur ses
concepts clés,
– une mise en place des ressorts profonds – et des résultats correspondants –
communs aux deux géométries hyperbolique et euclidienne,
– une entraînante synthèse d’une vision dynamique, avec Cabri, des géométries et
d’une réflexion approfondie sur leurs concepts.

J’ai pris un immense plaisir à lire cet ouvrage. Tout enseignant de mathématiques y
prendra le même ! Et aussi tout « honnête homme » de notre siècle, pour sa culture…

Notes

[1Autres brochures APMEP de Roger CUPPENS, sur la géométrie avec Cabri-Géomètre : cf.
plaquette VISAGES n
os
124-125 et 137-138.

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