Du géométrique au numérique : Euclide - Dedekind, qui a inventé les réels ?

Henry Michel

Résumé de l’article

La propriété de Thalès figure comme Proposition 2 du Livre VI des Eléments. Sa démonstration élémentaire par la méthode des aires semble très accessible. Pourquoi Euclide ne la présente-t-il pas plus tôt ?

En réalité, les rapports de Thalès peuvent être ceux de grandeurs incommensurables. Ils nécessitent donc la théorie des proportions pour être définis. La définition 6 décrit les conditions dans lesquelles on pourra conclure à l’égalité de deux rapports de grandeurs, ou égalité de leurs "raisons".

Mais qu’est-ce qu’une raison ? Euclide, qui en donne le mode d’emploi, est bien incapable de le définir, et pour cause : une raison est un nombre réel, dans toute sa généralité. Legendre montrera au début du 19ème siècle toute la difficulté qui se cache derrière la formule de l’aire du rectangle, renvoyant au problème de la mesure des grandeurs.

La construction des réels ne sera effective qu’en 1872, par Dedekind qui s’est largement inspiré de l’oeuvre d’Euclide pour fonder sa théorie des coupures, le problème de la mesure des grandeurs attendra Lebesgue en 1905 pour trouver une réponse satisfaisante.

Plan de l’article

  • Introduction
  • 1. Pythagore et Thalès par la méthode des aires dans les Eléments d’Euclide
  • 2. La démonstration de Clairaut (Méray, Guichard ... )
  • 3. Legendre : la méthode des aires par l’aire du rectangle
  • 4. Eudoxe : la théorie des proportions. Livre V des éléments
  • 5. Coupures de Dedekind
  • 6. Conclusion
  • Références bibliographiques

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)