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ET DIEU CREA LES NOMBRES

les plus grands textes de mathématiques réunis et commentés par Stephen Hawking

- 4 avril 2007 -

par Stephen Hawking ».

Éditions Dunod.

ISBN : 2 10 007598 5

1 172 pages en 17 × 24.

Après une brève introduction (2 pages et demi), Stephen Hawking présente, à propos de chacun des mathématiciens choisis, « sa vie, son œuvre », puis de larges extraits de textes originaux (en traduction française pour tous les auteurs non francophones) :

EUCLIDE : les Éléments, livres I, V, VII, IX (107 pages) ;

ARCHIMÈDE : De la sphère et du cylindre ; La mesure du cercle ; L’Arénaire ; la Méthode (88 pages) ;

DIOPHANTE : Les six livres arithmétiques et le livre des nombres polygones, livres II, III, V (83 pages) ;

René DESCARTES : La géométrie, livres I, II, III (67 pages) ;

Isaac NEWTON : Les principes mathématiques de la philosophie naturelle (10 pages) ; Pierre-Simon de LAPLACE : Essai philosophique sur les probabilités (97 pages) ;

Jean-Baptiste Joseph FOURIER : Théorie analytique de la chaleur, chapitre III (73 pages) ;

Carl Friedrich GAUSS : Recherches arithmétiques, sections 3 et 4 (60 pages) ;

Augustin-Louis CAUCHY : Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal – Calcul différentiel, 3ème leçon, calcul intégral, 21ème leçon (25 pages) ;

George BOOLE : Les lois de la pensée, chapitres 1 à 12 (143 pages) ;

Georg Friedrich Bernhard RIEMANN : Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée ; Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique  ; Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie (59 pages) ;

Richard Julius Wilhelm DEDEKIND : Continuité et nombres irrationnels (16 pages) ;

Georg CANTOR : Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis (73 pages) ;

Henri LEBESGUE : Intégrale, longueur, aire : chapitre 1 : mesure des ensembles ; chapitre 2 : Intégrale (45 pages) ;

Kurt GÖDEL : Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés (28 pages) ;

Alan Mathison TURING : Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision.

Les notices biographiques sont brèves (5 à 12 pages), mais néanmoins précises et précieuses  ; elle veillent, d’une part, à situer l’auteur considéré dans son contexte historico- géographique, d’autre part, à donner une image de sa personnalité ; elles incluent les grandes lignes de ses travaux, parfois la traduction en langage moderne des principaux résultats et des méthodes ; Stephen Hawking excelle à exprimer simplement et clairement les idées directrices.

Les textes originaux d’Euclide et Archimède sont entrecoupés de commentaires et explications (souvent indispensables à la compréhension) de Stephen Hawking ; concernant Diophante, ces commentaires prennent la forme d’abondantes notes de bas de page ; pour les autres auteurs, les note sont rares, et dues plus souvent au traducteur qu’à Stephen Hawking.

Le classement par ordre chronologique de naissance des auteurs fait de cet ouvrage un panorama de l’évolution de la pensée mathématique, et de l’expression mathématique, pendant les 2 300 dernières années ; on y voit en particulier comment les mathématiciens s’appuient systématiquement sur les résultats antérieurs, pour les généraliser et en déduire de nouveaux (Gauss relève une erreur d’Euler ; Riemann étend le domaine d’application des séries de Fourier ; Lebesgue redéfinit l’intégrale mais sans rien enlever aux résultats de Riemann…).

Cet ouvrage est une somme monumentale de connaissances. On y découvre directement ce que les mathématiciens ont dit, mais aussi comment ils l’ont dit ; à sa lecture on est amené à une réflexion sur la façon dont les savoirs anciens nous ont été transmis (quel écart entre « trouver deux nombres en rapport donné, tels que chacun d’eux, accru d’un nombre proposé, forme un carré » (Diophante), et sa traduction moderne : « résoudre dans N le système X/Y = m, $X + a^2 = \alpha^2, Y + b^2 =\beta^2 »$, à la place de la formalisation et des symboles : absents chez les grecs, au prix de longues périphrases, mais aussi chez Laplace (du moins dans les extraits cités) ils deviennent envahissants et rebutants chez certains modernes ; on peut penser que c’est leur manque qui a retardé de 20 siècles l’éclosion de certaines notions (limite, par exemple) déjà présentes en filigrane chez Euclide et Archimède ; réflexion sur les niveaux de rigueur et les abus de langage  : bien des auteurs en font que nous n’acceptons pas chez nos élèves («  la fonction f (x) » (Cauchy) ; «  » (Riemann) ;la somme de tout $=t\alpha^t-1$(Gauss) », …). On découvre aussi une grande variété de « styles » dans la rédaction, certains laissant volontiers les démonstrations et les calculs au lecteur (Cauchy), d’autres entrant minutieusement dans le moindre détail (Riemann) ; souci de pédagogie chez certains, comme Gauss, qui procède par induction d’une conjecture à partir d’exemples, puis la démontre ; toutefois une chose est frappante, c’est que tous, même les plus « formels » comme Boole ou Turing, mettent en relief les idées, le sens présents dans ce qu’ils écrivent..

Le choix des auteurs, et le choix des extraits proposés, est, comme tout choix, subjectif, arbitraire et contestable ; c’est celui de Stephen Hawking. On peut par exemple regretter qu’il évite Pascal ou Euler ; qu’il saute de Diophante à Descartes par-dessus la tête des mathématiciens arabes, qui ont assuré, d’une part, la transmission de l’héritage grec à l’Europe, d’autre part la création de l’outil algébrique (dont on peut détecter un premier balbutiement chez Diophante, qui note S un nombre inconnu) ; mais un seul ouvrage, fût-il de 1 200 pages, ne peut pas se substituer à une bibliothèque entière d’histoire des mathématiques ; celui-ci est assez riche et varié pour couvrir une grosse majorité des domaines mathématiques et des façons historiques de les aborder.

Une lecture passionnante donc, à conseiller vivement à tous ceux qui recherchent une culture mathématique authentique et variée. Mis à part l’aspect historique, chacun y trouvera sans doute au moins un domaine qu’il n’a pas rencontré dans ses études et qu’il découvrira avec jubilation (pour moi, ce fut surtout les ordinaux transfinis de Cantor).

Les bémols (bénins) de rigueur :

– un index un peu succinct ;

–une incertitude quant à l’auteur de certaines notes : l’auteur du texte, Stephen Hawking, ou le traducteur ? De même une différenciation typographique entre les textes d’Euclide ou Archimède et les commentaires de Stephen Hawking aurait été souhaitable ;

– une incertitude sur l’exhaustivité de certains textes : s’il est clair qu’avant les sections 3 et 4 de Gauss il y a les sections 1 et 2, il serait intéressant de savoir si l’ouvrage de Boole s’étend au-delà des 12 chapitres reproduits  ;

– une grande abondance de coquilles (j’en ai relevé plus de 100), mais la plupart ne nuisent pas à la compréhension.

Marc ROUX