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Éléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres).

par Pierre Colmez.

Éditions de l’École Polytechnique, octobre
2009

480 pages en 17 × 24.

ISBN 978-2-7302-1563-3.

Ce volume monumental est issu du cours de
mathématiques du premier semestre à l’École
Polytechnique. Il doit donc à la fois assurer
le socle de la formation de futurs mathématiciens,
offrir de nouveaux horizons à
tous ceux qui auront à utiliser les mathématiques
en tant que probabilistes, numériciens,
physiciens, chimistes, ingénieurs
ou économistes, voire financiers, militaires
ou administrateurs. Par ailleurs ses
auditeurs issus des différentes voies des
classes préparatoires ou d’universités
étrangères ont des connaissances et des
aptitudes variées. L’auteur a su parfaitement
faire face à ces difficultés en choisissant de
présenter une introduction à trois des théories
qui servent de socle aux mathématiques : les 100 premières pages sont
consacrées au vocabulaire mathématique
(Grammaire élémentaire, Produits, sommes
et quotients, Groupes finis, Algèbre linéaire,
Topologie, Compacité, Connexité,
Convergence de fonctions, Espaces vectoriels
normés, Tératologie1, Constructions
de nombres) ; les 180 suivantes contiennent
neuf chapitres et constituent le noyau
central : Représentation des groupes finis,
Espaces de Banach, Intégration,
Transformée de Fourier, Fonctions holomorphes,
Formule des résidus, Séries de
Dirichlet. Chaque chapitre comporte une
douzaine d’exercices dont la moitié corrigés.
Sept annexes rentrent plus dans les
détails des développements contemporains
 : Théorème des nombres premiers,
Volume de $Sl_{n}(\mathbb{R})$/$SL_{n}(\mathbb{Z})$, Exemples de
représentations de groupes finis,
Fonctions d’une variable p-adique, le problème
des nombres congruents,
Introduction au programme de Langlands ;
l’ouvrage s’achève par neuf problèmes corrigés,
trois index : terminologique, des
énoncés mathématiques, et des noms
propres, et une chronologie qui s’étend de
Pythagore à la démonstration de la conjecture
de Sato-Tate.

Cette longue énumération montre la richesse
de ce traité, ouvrage de base pour tous
ceux qui veulent faire ou utiliser des mathématiques.
S’appuyant à la fois sur des
textes historiques et sur des travaux
contemporains, il cite de nombreux auteurs
du passé et montre sur des exemples bien
choisis comment se construisent les
mathématiques d’aujourd’hui. D’un style
agréable et d’une écriture limpide sa typographie
variée permet au lecteur soit de le
lire chapitre après chapitre, soit de retrouver
un résultat oublié, soit de résoudre
quelques exercices. La bibliographie sommaire
d’une quinzaine de titres classiques
permet d’approfondir et de comparer d’autre
présentations. L’auteur ne manque pas d’humour
quand il résume en deux temps l’histoire
récente de l’enseignement des mathématiques
 :
1970. Dieu créa l’ensemble vide et l’homme
fit le reste
 : une théorie immuable et parfaite
à la beauté froide et lisse ;
1990. Dieu a créé les nombres réels puis les
nombres complexes et envoyé Gauss sur
terre pour expliquer qu’il n’y avait pas
besoin d’aller chercher plus loin
 : tout procédé
de construction soigneusement banni
du programme officiel.

La lecture de cet ouvrage remarquable est
donc recommandée aux étudiants de troisième
année de licence, de première année
d’école d’ingénieur mais aussi bien sûr aux
agrégatifs et à tous les enseignants trouvant
rassemblé dans un volume raisonnable
un corpus indispensable au mathématicien
et des repères chronologiques permettant
de montrer aux élèves que les
mathématiques ne sont pas sciences
mortes.

Paul-Louis HENNEQUIN

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