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Éléments de géométrie par Alexis-Claude CLAIRAUT

- 9 avril 2008 -

Éditions Jacques Gabay, 2006.

ISBN 978-2-87647-273-0, 54 €.

298 p. en 13,5 × 19,5.

Reproduction de l’édition de 1741, David fils, Paris.

Mathématicien doué et très précoce, Alexis-Claude Clairaut (1713-1765) présente à l’Académie des sciences, alors qu’il n’a que seize ans, un grand mémoire de recherches sur les courbes à double courbure qui sera considéré comme une œuvre de premier ordre. Il devient membre de l’académie à dix-huit ans. En 1736 il participe en Laponie, avec Maupertuis et Celsius entre autres, à la mesure d’un degré du méridien dont le résultat prouvera l’aplatissement de la terre aux pôles. C’est suite au désir qu’avait exprimé la marquise du Chatelet de faire l’acquisition des notions fondamentales de la géométrie qu’il publie en 1741 les éléments de Géométrie [1].

Dans la préface l’auteur annonce ses intentions  : Dans les éléments ordinaires, on débute toujours par un grand nombre de définitions, de demandes, d’axiomes et de principes préliminaires qui semblent ne promettre rien que de sec au lecteur, … Il arrive communément que les commençants se fatiguent avant que d’avoir aucune idée distincte de ce qu’on voulait leur enseigner. Alexis-Claude Clairaut se propose d’intéresser et d’éclairer les commençants. Pour cela la mesure des terrains (ou géo-métrie) lui parait ce qu’il y a de plus propre à faire naître les premières propositions de géométrie. S’ensuivent les mesures des distances inaccessibles, d’autres recherches qui ont telle analogie avec les premières que la curiosité naturelle à tous les hommes les porte à s’y arrêter.

Pour l’auteur cette méthode doit avoir une utilité encore plus importante : accoutumer l’esprit à chercher et à découvrir. C’est pour cela qu’il ne formule aucune proposition sous la forme de théorème, où l’on démontre que telle ou telle vérité est sans faire voir comment on est parvenu à la découvrir et qu’il veut occuper continuellement le lecteur à résoudre des problèmes. Clairaut ne veut pas rebuter les commençants en les accablant de démonstrations pour ainsi dire inutiles, à l’encontre d’Euclide qui avait à convaincre des Sophistes obstinés qui se faisaient gloire de se refuser aux vérités les plus évidentes.

Pour autant, ce véritable manuel d’enseignement ne perd pas son objectif, l’auteur terminant sa préface en soulignant que la mesure des terrains n’est pas le véritable objet de ce livre mais qu’elle lui sert seulement d’occasion pour faire découvrir les principales vérités géométriques.

L’ouvrage est découpé en quatre parties. J’insisterai plus particulièrement sur l’organisation de la première.

Première partie : Des moyens qu’il était le plus naturel d’employer pour parvenir à la mesure des terrains. (75 points) À l’issue du Plus Petit Commun Moellon nécessaire, pour bâtir jusqu’au solide, arrivent vite les aires du rectangle, du triangle rectangle, du triangle quelconque (car on voit que malgré l’infinie variété des figures rectilignes, on peut les mesurer toutes de la même façon, en les partageant en figures de trois côtés nommées communément triangles), de triangles de même base et qui sont renfermés entre les mêmes parallèles, du parallélogramme, des polygones réguliers.

Quand il advient que les mesures ne sont pas directement réalisables sur le terrain, on est tout naturellement amené à reproduire les figures. Connaissant les trois côtés d’un triangle faire un autre triangle qui lui soit égal ; introduction du mot angle ; deux côtés et l’angle compris déterminent le triangle ; deux angles et un côté déterminent le triangle ; manière de faire une figure semblable à une autre ; deux triangles dont les angles sont respectivement égaux ont leurs côtés proportionnels  ; les aires des figures semblables sont entre elles comme les carrés des côtés homologues ; les figures semblables ne sont différenciées que par les échelles sur lesquelles elles sont construites et finalement manière de mesurer la distance d’un lieu inaccessible.

Cette première partie se termine sur la mesure des angles, l’usage du rapporteur, les angles alternes, la somme des angles d’un triangle et la description de l’hexagone et de l’octogone.

Seconde partie : De la méthode géométrique de comparer les figures rectilignes. (28 points)

Il arrive souvent qu’on a besoin de rassembler dans une même figure, plusieurs figures qui lui soient semblables… L’étude qui porte d’abord sur les rectangles amène à s’intéresser aux quantités proportionnelles avant de poursuivre sur les carrés. De deux carrés en faire un troisième débouche sur une propriété bien connue … qui est ensuite généralisée. Si les côtés d’un triangle rectangle servent de base à trois figures semblables, la figure faite sur l’hypoténuse égalera les deux autres prises ensemble.

Cette partie s’achève sur l’incommensurabilité du côté d’un carré avec sa diagonale et sur la comparaison des aires des figures semblables lorsque les côtés sont incommensurables.

Troisième partie : De la mesure des figures circulaires, & de leurs propriétés. (35 points)

Aire, couronne, segment, angle inscrit, angle au centre, tangente, arc capable, moyenne géométrique, changer une figure rectiligne en un carré, puissance d’un point. Le tour complet, et même un peu plus de notre enseignement secondaire.

Quatrième partie : De la manière de mesurer les solides & leurs surfaces. (84 points)

Construite sur la même structure que la première, cette dernière partie aborde cubes, parallélépipèdes, prismes, pyramides, cylindres, cônes, sphères, leurs aires et volumes respectifs pour conclure sur la comparaison des aires et des volumes des solides semblables.

Conclusion

Manuel reconnu d’utilité géométrique !!!

De ce long fleuve tranquille découle beaucoup de l’inspiration des demandes de nos programmes actuels (au moins pour le collège) et remonter à la source est forcément revigorant. Ce véritable précis de géométrie et de pédagogie devrait figurer au catalogue de chaque CDI des établissements de France et de Navarre.

Bruno ALAPLANTIVE


[1] Je ne peux taire, dans cette recension, la renommée internationale que Clairaut acquit par la prédiction précise qu’il fit du retour de la comète de Halley en 1759 et je cite Gilbert Walusinski, instigateur du titre « Cahiers Clairaut » du bulletin du Comité de Liaison Enseignants et Astronomes (clea) : « Quant à l’intitulé, je dois reconnaître que […] j’avais envie d’honorer ce savant qui avait réussi le premier calcul du retour de la comète de Halley et qui, pédagogiquement, recommandait en géométrie comme ailleurs de commencer par le commencement