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Les problèmes du bulletin vert

Et solution du problème n°305

Énoncé n° 305

(Pierre DUCHET, 75-Paris)

En appelant « sphinx » et « parallélogramme » les deux formes que voici : 15-Problèmes1
- a) Peut-on paver complètement un triangle équilatéral, de côté n, avec des sphinx ?
- b) Combien peut-on placer (au maximum) de parallélogrammes à l’intérieur d’un hexagone régulier de côté n ?
Dans les deux cas, les pièces ne doivent pas se recouvrir. Elles peuvent être pivotées et retournées.

SOLUTION

15-Problèmes1Bis

 

 

Un triangle $T_n$, de côté n, $n^2$ fois plus grand qu’un triangle unité (de côté 1), contient $n^2 $ triangles unités, dont $ 1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ triangles pointes en haut (orientés dans le même sens que $T_n$) et $\frac{n(n-1)}{2}$ triangles pointes en bas (orientés différemment).

Or chaque sphinx couvre 6 triangles unités, dont 4 orientés dans un sens et 2 orientés dans l’autre. Pour que $T_n$ soit pavable par des sphinx, non seulement $n^2$ doit être multiple de 6, soit n = 6k, mais $ \frac{n(n+1)}{2} = 3k(6k+1)$ doit être pair, donc k lui aussi pair. Il est donc nécessaire que n soit multiple de 12, et réciproquement, si n est multiple de 12, $T_n$ étant pavable par des triangles $T_{12}$, il suffit de trouver un pavage du triangle $T_{12}$ pour prouver que cette condition nécessaire est aussi suffisante.

Pierre Duchet et moi tenions le stand commun MATh.en.JEANS - Animath lorsqu’il m’a soumis ce problème. Les élèves qui l’ont cherché ont compté le nombre de triangles unités, dans des cas particuliers, sans remarquer que $T_n$ était $n^2}$ fois plus grand qu’un triangle unité. La difficulté était le cas n = 6 ; un père a dit à son fils d’une dizaine d’années : « on ne bouge pas d’ici tant que tu n’as pas trouvé ».
Pour n = 12, Pierre Jullien et Pierre Bornsztein proposent le même pavage, invariant par rotation de 120°, mais Michel Lafond en trouve un autre. 15-Problèmes2

Les problèmes de pavage sont généralement solubles par des coloriages. Pour cette première question, on n’avait guère le choix, les trois solutions justes reçues sont identiques. Mais pour la seconde question, Pierre Bornsztein et moi proposons des solutions en noir et blanc (pardon : en rouge et bleu pour Pierre Bornsztein) alors que Michel Lafond et Pierre Jullien préfèrent la quadrichromie.

15-Problèmes2bisIl est clair pour tout le monde que, le quadrilatère couvrant quatre triangles alors que l’hexagone de côté n (réunion de 6 triangles équilatéraux de côté n) en couvre $6n^2$, le pavage de tout l’hexagone n’est possible que si n est pair : en divisant l’hexagone en trois losanges (qui peuvent être vus comme trois faces d’un cube en perspective), il est facile de réaliser un pavage dans ce cas. Lorsque n est impair, $6n^2$ n’étant pas divisible par 4, au moins deux cases (triangles unités) ne seront pas couvertes, et tout le problème consiste à prouver qu’en réalité, 6 cases au moins ne seront pas couvertes.

Pierre Bornsztein distingue trois types de parallélogrammes, 1, 2 et 3 selon que leur grand côté est parallèle à l’une des trois grandes diagonales $D_1$, $D_2$ et $D_3$. 15-Problèmes3Comme les nombres $k_1$, $k_2$ et $k_3$ de parallélogrammes de chaque type ne peuvent pas être de trois parités distinctes, on peut supposer, par exemple, que $k_1$ et $k_3$ sont de même parité. On découpe alors l’hexagone en bandes parallèles à $D_2$ , larges d’une case, alternativement bleues et rouges : ces bandes s’échangent par symétrie par rapport à $D_2$, il y a donc $3n^2$ cases bleues et $3n^2$ cases rouges. Chaque parallélogramme de type 1 ou 3 couvre obligatoirement deux cases rouges et deux cases bleues, donc ces deux types réunis couvrent $2(k_1 + k_3)$ cases rouges et autant de cases bleues : comme $k_1$ et $k_3$ sont de même parité, $2(k_1 + k_3)$ est multiple de 4. Chaque parallélogramme de type 2 couvre soit quatre cases rouges, soit quatre cases bleues. Donc le nombre de cases rouges couvertes par l’ensemble des parallélogrammes est multiple de 4, et comme $3n^2$ est congru à 3 modulo 4, il y a au moins 3 cases rouges non couvertes. De même, il y a au moins 3 cases bleues non couvertes, donc en tout 6 cases au moins non couvertes.

Trouver un pavage de l’hexagone moins 6 cases n’est pas difficile : si n = 2k + 1, on peut isoler un hexagone central H de côté 1 (non couvert) et diviser le reste en trois bandes de grand côté 2k et trois losanges de côtés 2k et (2k + 1), facilement pavables. Appelons P ce pavage.

15-Problèmes3bisL’autre approche du problème, assez différente, fait appel au coloriage que voici. Comme dans toute bande (large d’une case) parallèle à une grande diagonale, une case sur quatre est noire, chaque parallélogramme (nécessairement inclus dans une telle bande) contient une et une seule case noire : il y a donc autant de cases noires couvertes que de parallélogrammes. Or le pavage P couvre toutes les cases noires : on ne peut pas en couvrir davantage, donc on ne peut pas placer davantage de parallélogrammes, d’où, en définitive, on ne peut pas couvrir davantage de cases. Quel que soit le pavage, 6 cases au moins seront non couvertes.

15-Problèmes3-terJ’étais très fier de cette démonstration jusqu’à ce que Pierre Jullien et Michel Lafond en proposent une très voisine, mais en quadrichromie. Le coloriage ci-contre – obtenu en faisant basculer, proprement mais dans tous les sens, sur notre triangulation de l’hexagone un tampon encreur tétraédrique – est tel que le parallélogramme (qui est un patron plan du tétraèdre), quelle que soit sa position, couvre une case de chaque couleur. Le pavage P prouve que dans l’hexagone de côté n privé de H (les six cases centrales), il y a autant de cases de chaque couleur. Comme une couleur n’est pas présente dans H, l’hexagone contient $\frac{6n^{2}-6}{4}$ cases de cette couleur et $\frac{6n^{2}+2}{4}$ cases de chacune des trois autres couleurs.

Quel que soit le pavage, celui-ci couvre donc au plus $(6n^{2}- 6)$ cases.

Ces deux dernières démonstrations s’appliquent au pavage de l’hexagone régulier de côté 2k + 1 par des triangles équilatéraux de côté 2 : au moins 6 cases seront non couvertes. Mais dans ce dernier cas, existe-t-il des pavages où moins de 14 cases sont non couvertes ?