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Ensembles, Relations, Applications, Dénombrement.

Exercices corrigés avec rappels de cours

- 10 mai 2009 -

par Bertrand Cintract et Jean-Jacques Colin, avec la participation de Rémi Morvan.
Éditions Cépaduès 2009 – Collection Bien débuter en mathématiques – L1, L2, L3, classes préparatoires.
156 pages en 14,5 × 20,5.
ISBN : 978-2-85428-881-0.

Problèmes de Mathématiques corrigés et commentés – 3 – Algèbre linéaire et euclidienne, par Gilbert Monna, avec la participation de Rémi Morvan.
Même éditeur, même collection, même format.
152 pages.
ISBN : 978-2-85428-882-7.

Voici deux livraisons nouvelles de cette collection, dont plusieurs volumes ont été recensés dans les numéros précédents du Bulletin. Les derniers en date sont fidèles à sa forme comme à son esprit : ils s’adressent aux étudiants de licence ou de CPGE, sont divisés en chapitres comportant chacun de brefs rappels de cours (4 à 9 pages, sans démonstrations, mais avec des exemples) et une série d’exercices corrigés (6 à 16, pour le premier cité) ou de problèmes (3 ou 4, pour le second). Les énoncés ne visent pas l’originalité, mais au contraire « les types d’exercices qui reviennent immanquablement dans les sujets d’examen et de concours ». On n’y trouvera pas trace d’applications à d’autres disciplines, ni d’intervention des TICE. Entre les chapitres, on trouve des notices historiques sur les créateurs des notions étudiées. Les titres des chapitres de « Ensembles, relations… » sont : Raisonner et démontrer ; Ensembles ; Applications ; Relations sur un ensemble ; Les entiers naturels ; Dénombrement. S’y ajoute un chapitre 7 «  Pour les plus courageux » sans rappels de cours, regroupant cinq exercices considérés par les auteurs comme plus difficiles (avis que je ne partage pas, au moins concernant le n°68). Dans ce volume la difficulté des exercices est très variable, de l’application directe des définitions, et de beaucoup de grands classiques des manuels de collège du temps des « maths modernes » (tables de vérité, par exemple), jusqu’à des questions qui n’ont guère de chances d’être résolues par l’étudiant moyen, mais dont celui-ci doit avoir vu et mémorisé la solution (par exemple : démontrer qu’il existe deux irrationnels a et b tels que ab soit rationnel). Beaucoup sont des démonstrations de propriétés classiques, et portent sur des ensembles quelconques plutôt que sur des exemples. L’un des auteurs enseigne dans le secondaire, ce qui assure une bonne continuité entre lycée et enseignement supérieur.
Les corrigés ne se contentent pas de rédactions-type, mais comportent de précieux commentaires sur les méthodes de raisonnement.

Les « Problèmes… » de G. Monna sont d’un niveau nettement plus élevé, portant sur le programme de la deuxième année d’études supérieures.

Les trois chapitres sont intitulés : Algèbre linéaire, Réduction des endomorphismes, Espaces vectoriels euclidiens.

Ils présentent des difficultés souvent d’ordre calculatoire, souvent aussi dans la recherche des résultats à utiliser, parmi ceux des questions antérieures. Les résoudre nécessite une grande maîtrise du cours. À ce titre ils seront utiles dans la préparation du CAPES, voire de l’agrégation. On y trouve des démonstrations de propriétés générales plus ou moins connues, qui pourront raviver ou élargir la culture mathématique de chacun de nous (je ne dois pas être le seul à avoir ignoré jusqu’à hier qu’un espace vectoriel euclidien peut être muni d’un produit vectoriel si et seulement si il est de dimension 1, 3 ou 7).
Malheureusement ce volume, beaucoup plus que les autres de la collection, présente des coquilles et erreurs qui parfois compromettent la compréhension ; la correction d’une question de 2.4 est omise, celle de 3.3 (question 3.b) me paraît incomplète… En dépit de ce défaut de relecture, nous avons ici deux bons instruments de plus dans une panoplie d’outils solides et fiables pour un enseignement de qualité.

Marc ROUX