Entre OPC et aujourd’hui.

Christiane Zehren , Henri Bareil

Le texte ci-dessous est issu de deux textes d’Henri Bareil, l’un intitulé « Une équipe OPC et l’axiomatique » paru en 1978 dans la brochure APMEP n° 34, actuellement épuisée, et l’autre rédigé en 2003 pour la brochure en hommage à Charles Perol éditée par l’IREM de Clermont- Ferrand.
J’ai essayé d’en retenir ce qui éclaire l’évolution de l’enseignement des mathématiques depuis la période évoquée dans le texte ci-dessus (La « réforme des mathématiques modernes » vécue par un enseignant « du terrain »), ainsi que ce qui m’apparaît comme des questions toujours actuelles, notamment sur l’enseignement au collège et ses objectifs majeurs.
Cette équipe O.P.C. fondée pour bâtir une réponse raisonnée à une situation d’urgence a fait émerger des orientations valant aujourd’hui.
Avec la réforme des Mathématiques modernes, on avait voulu faire reposer leur enseignement sur une conception axiomatique selon des programmes linéaires au sens d’une construction hiérarchisée par le savoir savant…
Les difficultés de mise en œuvre de cette réforme ont suscité un puissant mouvement de réflexion et de propositions pour transformer cet enseignement ; cela a ouvert la voie :
- à un infléchissement de son contenu, plus riche en termes de fonctionnement, plus actif pour les élèves, cadré comme il se devait en fonction de l’évolution de la population des élèves ;
- à une architecture des programmes originale, avec progressivité des approfondissements, enrichissements successifs, construction synoptique au gré des quatre années du Collège, attention à coordonner les domaines mathématiques les composant ;
- à un intense travail conceptuel dans l’association à propos du cœur de l’activité mathématique.

Ce travail et ses fruits restent d’actualité.

Christiane ZEHREN [1]

DONNONS LA PAROLE À HENRI BAREIL

En 1973, après les circulaires qui desserraient les contraintes des programmes de 4°-3° « Lichnérowicz » mais ne réglaient guère les problèmes de fond, certains recherchèrent d’autres axiomatiques ou essayèrent « d’aménager » : Frankel-Revuz…
Autour de Charles Perol, qui en fût l’âme, s’ébaucha une autre tentative mettant en cause tous les choix faits à l’occasion des nouveaux programmes. Rappelons que ceux-ci structuraient de l’affine vers le métrique avec une axiomatique minimale très explicitée par l’Annexe Frankel-Revuz et « au moins sous-jacente » en s’en tenant à la plus libérale circulaire de février 1973. Charles Perol, ouvrant la brochure APMEP n° 34, disait : « Encouragé par A. Lichnérowicz, l’IREM de Clermont-Ferrand lança un appel publié dans le premier Bulletin Inter-Irem. Le titre en était Offre Publique de Collaboration (en abrégé : O.P.C.). Il s’agissait de développer « une expérimentation des programmes de Quatrième et de Troisième (surtout en géométrie mais non exclusivement) ». Le texte de l’appel précisait : « Parmi les reproches que nous pouvons adresser aux actuels programmes, relevons- en deux pour fonder sur eux nos propositions.
a. Les élèves qui ne poursuivront pas des études par la voie longue ont été considérés comme sans intérêt. [...]. Nous soutenons que c’est, au contraire, sur leurs besoins à eux que l’enseignement doit être bâti et que l’on obtiendra ainsi, par surcroît, un meilleur enseignement pour ceux qui poursuivront des études longues de mathématiques.
b. La voie actuelle choisie pour l’apprentissage n’a été justifiée que par ses qualités comme voie d’exposition. En caricaturant à peine, on pourrait dire qu’a été faite pour elle la première phrase du mode d’emploi de Bourbaki : « le traité prend les mathématiques à leur début et donne des démonstrations complètes ». Mais nous ne pouvons pas supposer à nos élèves « une certaine habitude du raisonnement mathématique » puisque notre tâche à nous est précisément de les rapprocher de ce but éloigné
 ».

Les animateurs d’OPC souhaitaient :

- fonder davantage l’enseignement de la géométrie sur l’activité des élèves (cela supposait un souci de motivation et un appel accru aux démarches expérimentales)  ;
- s’intéresser ainsi prioritairement, non à l’édification d’une mathématique, mais au développement (en ce qui concerne les mathématiques notamment !) des diverses capacités des élèves, de tous les élèves
.

Il s’ensuivit une Recherche OPC, dans un cadre INRP, avec association d’IREMs.
La cheville ouvrière en était Charles Perol. Il y déployait toutes ses qualités d’animateur, de démocrate et d’enseignant. Il alliait merveilleusement « la tête et les mains », la passion de la géométrie dans l’espace, des tracés de géométrie plane, de chemins motivants vers les démonstrations de jolis résultats… Il savait convaincre des mérites des « îlots déductifs » et de l’essor de l’intelligence à partir des derniers acquis bien intégrés.
Encouragée par André Lichnérowicz, l’expérimentation OPC avait été, en 1973, à peine tolérée par le doyen de l’Inspection Générale ! Sans doute ne fallait-il pas démoraliser les troupes engluées dans les programmes officiels ! En juin 1977, pour d’obscures raisons (économie ?,...) notre Recherche fut supprimée.

Quel héritage laissait-elle ?

OPC, L’APMEP, ET LES PROGRAMMES DE 4°-3° DE 1978

La dissolution, en 1975, de la Commission Lichnérowicz avait redonné aux Directions des Collèges et des Lycées et à « leur bras armé », l’Inspection Générale, le soin de décider des programmes.
Tard venue aux « Mathématiques modernes », l’Inspection Générale de mathématiques, en sa majorité ou au moins en ses Doyens, se découvrait, vers 1976, une vocation à enchérir sur les …outrances de 1972 ! C’est ainsi qu’elle mit alors au point une axiomatique de la géométrie plutôt ubuesque dans la pratique : par exemple, en Quatrième, si l’on parlait bien du milieu d’un segment, défini par je ne sais plus quels axiomes, on n’en ignorait pas moins qu’il était équidistant des extrémités (« la distance  » sur la droite ne venant qu’en Troisième)…
Tandis que des animateurs IREM renchérissaient encore, la distance et l’orthogonalité n’intervenant, en Troisième, qu’après la définition du produit scalaire de deux vecteurs, l’Académie des Sciences en fut effrayée et, se préoccupant des classes de Quatrième et de Troisième, y dénonça les intentions de l’Inspection Générale : il y eut même des articles dans « Le Monde »… signés ou inspirés par Henri Cartan ou Gustave Choquet. Ces articles ou contre-propositions étaient cependant fort théoriques.

Il en allait autrement de l’APMEP qui, grâce aux travaux OPC, allait, en 1977- 1978, produire un dossier à la fois incisif contre les délires axiomatiques avec prééminence de l’affine, et solidement argumenté en des contre-propositions. Dossier qui réussissait à convaincre une Direction des Collèges qui, le 20 juillet 1978, provoquait une réunion entre l’APMEP (avec Claude Lassave et moi-même, délégués par Christiane Zehren, nouvellement Présidente de l’APMEP), Gustave Choquet représentant l’Académie des Sciences, et une délégation de l’Inspection Générale conduite par son doyen E. Ramis. Le représentant de la Direction des Collèges obligeait celle-ci à tenir compte prioritairement des points de vue de l’APMEP et de Gustave Choquet.

De là de nouveaux programmes de « consensus » entre des tendances radicalement opposées ...qui, grâce à la priorité donnée à un point de vue (le métrique avant l’affine) entamait un processus de reconstruction de l’enseignement mathématique en Collège tournant le dos aux excès de 1972. Ces programmes ne nous satisfaisaient certes pas totalement : en fin de journée, de graves divergences étaient apparues, en géométrie, entre les tenants (l’APMEP !) d’une continuité avec les 6°-5° s’appuyant sur les notions déjà dégagées, et ceux qui voulaient, en Quatrième, repartir de zéro.

Mais l’influence de l’O.P.C. n’allait pas s’arrêter là…

OPC ET LES PUBLICATIONS DE L’APMEP

Elle s’est immédiatement exercée à travers les publications de l’APMEP, par exemple dans deux gros tomes « Géométrie du Premier Cycle », parus en 1978 et 1979, avec notamment « La position de OPC sur l’axiomatique ».
Elle s’est clairement exprimée dans la brochure APMEP n° 34, parue en 1979, consacrée à la recherche OPC, rédigée sous la seule responsabilité de l’équipe OPC et de son animateur national Charles Perol. Dans cette brochure, je signais aussi « Une équipe OPC et l’axiomatique » faisant état, notamment, d’évolutions vers des « délinéarisations  » de l’enseignement des mathématiques. [2]
Les programmes de 1978 étaient d’un libellé court et sobre. L’APMEP s’est, en deux brochures : « Activités mathématiques en Quatrième-Troisième », parues en 1979 et 1980, employée à en tirer le meilleur parti possible dans une optique « très OPC ». Trente articles relevaient d’auteurs « OPC », notamment de Charles Perol, « La géométrie de Quatrième par les dallages ».

VERS UN ENSEIGNEMENT À TRAVERS DES « PROBLÉMATIQUES  »

En 1980, l’APMEP « a créé un groupe de travail chargé de réfléchir, sans être bousculé par les soubresauts de l’actualité, sur ce que pourrait être un renouvellement de l’enseignement des mathématiques au Collège ».
Venus des équipes OPC, on trouvait son animatrice, Jeannine Cartron, ainsi que Régis Gras, André Henneton, Charles Perol et moi-même… S’y adjoignaient Claude Ansas, Louis Duvert, Jean-Pierre Ohran, Jean-Paul Bardoulat, Christian Hakenholtz et Roger Maurin.
Conduit pendant quatre années, le travail du groupe devait déboucher sur trois documents  :
- deux concernaient les objectifs, des modes d’enseignement, des méthodes [3]
- un autre proposait de réorganiser l’enseignement en Collège autour de « DIX PROBLEMATIQUES ». [4] Ce document, largement inspiré par Régis Gras, fournissait, par problématique (ainsi pour « Repérage dans le plan et sur la sphère »)
- des libellés « d’activités »,
- l’énoncé des « Savoirs et Savoir-Faire minimum - Objectifs minimaux et calibrage  »,
- et, seulement après, celui de brefs « contenus », ensuite commentés.

Ces « problématiques » ne cessent, depuis, de hanter les efforts novateurs de l’APMEP.
Le relais a été pris pour les Lycées et, en avril 2003, est parue une importante brochure APMEP [5] les concernant, brochure qui fait donc partie de la descendance OPC.

VERS LES PROGRAMMES « COPREM » DE 1985

Les programmes de compromis de 1978 ne pouvaient qu’inciter à des choix plus clairs.
Ils furent l’œuvre de la « COPREM » —«  Commission pour une réflexion sur l’enseignement des mathématiques »— mise en place par le ministre Alain Savary à l’initiative d’un des animateurs de l’APMEP, Jean-Louis Ovaert, relayé par Catherine Moisan du Cabinet du ministre. (La COPREM devait être continuée, après 1987, par diverses Commissions successives…)
J’y étais dans le sous-groupe « Collèges ». Avec Daniel Reisz pour le sous-groupe Lycées, et bien qu’à titre personnel, nous représentions « la sensibilité APMEP ».
Nous y avons bénéficié d’un appui de l’Inspection Générale d’alors avec son doyen, Xavier Aubert, dans le groupe « Collèges », et Pierre Legrand aux Lycées.
Nous avons, pour les Collèges, pu faire passer pas mal d’idées travaillées au sein du « courant Charles Perol » de l’OPC et du groupe APMEP qui avait débouché sur les « Problématiques ».
Non pas tout, par exemple la structuration en problématiques, mais beaucoup ; ainsi :
- l’intérêt apporté aux comportements, aux méthodes,
- celui d’incursions (motivées !) dans des hors-programmes,
- le refus de constructions axiomatiques minimales, la géométrie se développant à partir des acquis des élèves à l’entrée en Sixième, [6]
- une progression continue, à partir de la 6°, sans coupure ni table rase entre 5°et 4°, ou entre 3° et Seconde, organisée en réseau « d’îlots déductifs »,
- une association transformations-configurations,
- des activités pratiquées en classe plus riches que ce qui, en un centrage sur l’essentiel, sera exigé.

Tels quels, les programmes de Collège, depuis périodiquement un peu revus… et allégés, notamment faute d’horaires suffisants, tiennent encore la route. Ils ne cessent d’être ratifiés par les enseignants du « terrain »… Ce qui ne signifie pas qu’ils doivent être pérennes : une part accrue des statistiques, une initiation aux probabilités, un retour en grâce (sans pour autant chasser les outils conjugués « transformations-configurations ») des cas d’égalité et de similitude,… devraient s’imposer dans une vision globale Collège-Lycées abandonnée ces dernières années et pourvu qu’un horaire décent soit retrouvé.

TOUT RESTE A FAIRE

Mais l’expérience OPC peut encore y être méditée, avec ses constants recadrages et ses évolutions, évoqués par la brochure APMEP sur l’OPC :

Extrait : « L’apprentissage de « la démonstration » se fait traditionnellement, en géométrie, à partir de propriétés de base reconnues comme telles et d’énoncés antérieurement établis ou admis dans une suite de discours ordonnés en une progression où les énoncés s’enchaînent explicitement et où le maître a impliqué (ou cru impliquer) l’élève.
C’est tout à fait logique dans le cadre d’un enseignement qui se veut une "exposition" de la mathématique, l’apprenti n’ayant qu’à absorber une nourriture préparée hors de lui. C’est trop restrictif dans l’optique d’un enseignement voulu comme activité mathématique qui, dans le cadre d’une planification minimale, s’efforce de susciter les initiatives et de les laisser se développer et veut placer l’élève en situation de chercheur. En effet, il faut alors accepter que, dans le foisonnement des problèmes, il y en ait qui échappent à une progression pré-établie. II faut aussi que la situation d’apprentissage bénéficie des mêmes possibilités que toute situation ultérieure de recherche.
Paradoxalement, cela entraîne un centrage sur l’essentiel :
- s’intéresser prioritairement au développement des diverses capacités des élèves (manipuler, expérimenter, observer, conjecturer, faire surgir des questions, douter et s’auto-contrôler, fabriquer et utiliser une documentation, rédiger et s’exprimer, démontrer, chercher, imaginer, inventer...).
- mettre l’accent, quant au contenu mathématique, sur les méthodes, et sur quelques énoncés-clés du programme (les autres relevant d’une documentation accessible).
Certes, il y a un équilibre à trouver entre les divers objectifs de l’enseignement, les fonctions didactiques qui s’ensuivent, et les méthodes à mettre en jeu pour les assumer au mieux. Cet équilibre est certainement fonction de l’élève, des élèves. Ce qui plaide pour une personnalisation accrue de l’enseignement selon les élèves.
Voilà donc nos approches d’un nouveau type d’enseignement en 4° et 3°.
Redisons qu’elles restent timides, maladroites, engoncées dans de vieux habits tout raidis...
A peu près tout est à faire, à découvrir... »

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Henri Bareil et Christiane Zehren

[1] Présidente d’Honneur de l’APMEP, « alter ego » d’Henri, comme il le disait lui-même

[2] Ce texte est accesible en ligne sur le site de l’APMEP.

[3] Ils ont fait l’objet d’articles dans les Bulletins n° 334,337 et 338 et d’une Plaquette de Janvier 1985

[4] Cf."Supplément n°1 au Bulletin n° 345" d’octobre 1984

[5] Deux tomes de "Pour un enseignement problématisé des mathématiques au lycée", brochures n° 150 et 154

[6] Toute activité mathématique exige-t-elle, pour être valide, que tout pré-supposé soit explicité et pris comme axiome ou démontré ? Ma réponse est « non ». Je me garderai bien de me substituer à l’élève lorsqu’aucune problématique ne l’a conduit à se poser réellement de questions. A quoi pourrait servir d’en faire un chien savant d’une rigueur que rien, à son niveau, n’appelle ? Il n’y a pas lieu de l’enfermer, au départ, dans une rigueur apparue au terme de longs cheminements et de problèmes, alors que rien ne la motive encore.