Entre OPC et aujourd’hui.

Le texte ci-dessous est issu de deux textes d’Henri Bareil, l’un intitulé « Une équipe OPC et l’axiomatique » paru en 1978 dans la brochure APMEP n° 34, actuellement épuisée, et l’autre rédigé en 2003 pour la brochure en hommage à Charles Perol éditée par l’IREM de Clermont- Ferrand.
J’ai essayé d’en retenir ce qui éclaire l’évolution de l’enseignement des mathématiques depuis la période évoquée dans le texte ci-dessus (La « réforme des mathématiques modernes » vécue par un enseignant « du terrain »), ainsi que ce qui m’apparaît comme des questions toujours actuelles, notamment sur l’enseignement au collège et ses objectifs majeurs.
Cette équipe O.P.C. fondée pour bâtir une réponse raisonnée à une situation d’urgence a fait émerger des orientations valant aujourd’hui.
Avec la réforme des Mathématiques modernes, on avait voulu faire reposer leur enseignement sur une conception axiomatique selon des programmes linéaires au sens d’une construction hiérarchisée par le savoir savant…
Les difficultés de mise en œuvre de cette réforme ont suscité un puissant mouvement de réflexion et de propositions pour transformer cet enseignement ; cela a ouvert la voie :
 à un infléchissement de son contenu, plus riche en termes de fonctionnement, plus actif pour les élèves, cadré comme il se devait en fonction de l’évolution de la population des élèves ;
 à une architecture des programmes originale, avec progressivité des approfondissements, enrichissements successifs, construction synoptique au gré des quatre années du Collège, attention à coordonner les domaines mathématiques les composant ;
 à un intense travail conceptuel dans l’association à propos du cœur de l’activité mathématique.

Ce travail et ses fruits restent d’actualité.

Christiane ZEHREN [1]

DONNONS LA PAROLE À HENRI BAREIL

En 1973, après les circulaires qui desserraient les contraintes des programmes de
4°-3° « Lichnérowicz » mais ne réglaient guère les problèmes de fond, certains recherchèrent
d’autres axiomatiques ou essayèrent « d’aménager » : Frankel-Revuz…
Autour de Charles Perol, qui en fût l’âme, s’ébaucha une autre tentative mettant
en cause tous les choix faits à l’occasion des nouveaux programmes. Rappelons que
ceux-ci structuraient de l’affine vers le métrique avec une axiomatique minimale très
explicitée par l’Annexe Frankel-Revuz et « au moins sous-jacente » en s’en tenant à
la plus libérale circulaire de février 1973. Charles Perol, ouvrant la brochure APMEP
n° 34, disait : « Encouragé par A. Lichnérowicz, l’IREM de Clermont-Ferrand lança
un appel publié dans le premier Bulletin Inter-Irem. Le titre en était Offre Publique
de Collaboration (en abrégé : O.P.C.). Il s’agissait de développer « une expérimentation
des programmes de Quatrième et de Troisième (surtout en géométrie mais non
exclusivement)
 ». Le texte de l’appel précisait :
« Parmi les reproches que nous pouvons adresser aux actuels programmes, relevons-
en deux pour fonder sur eux nos propositions.
a. Les élèves qui ne poursuivront pas des études par la voie longue ont été considérés
comme sans intérêt. [...].
Nous soutenons que c’est, au contraire, sur leurs besoins à eux que l’enseignement
doit être bâti et que l’on obtiendra ainsi, par surcroît, un meilleur enseignement
pour ceux qui poursuivront des études longues de mathématiques.
b. La voie actuelle choisie pour l’apprentissage n’a été justifiée que par ses qualités
comme voie d’exposition. En caricaturant à peine, on pourrait dire qu’a été
faite pour elle la première phrase du mode d’emploi de Bourbaki : « le traité prend
les mathématiques à leur début et donne des démonstrations complètes ».
Mais nous ne pouvons pas supposer à nos élèves « une certaine habitude du raisonnement
mathématique » puisque notre tâche à nous est précisément de les
rapprocher de ce but éloigné
 ».

Les animateurs d’OPC souhaitaient :

- fonder davantage l’enseignement de la géométrie sur l’activité des élèves (cela
supposait un souci de motivation et un appel accru aux démarches expérimentales)
 ;
 s’intéresser ainsi prioritairement, non à l’édification d’une mathématique, mais
au développement (en ce qui concerne les mathématiques notamment !) des diverses
capacités des élèves, de tous les élèves
.

Il s’ensuivit une Recherche OPC, dans un cadre INRP, avec association d’IREMs.
La cheville ouvrière en était Charles Perol. Il y déployait toutes ses qualités d’animateur,
de démocrate et d’enseignant. Il alliait merveilleusement « la tête et les
mains », la passion de la géométrie dans l’espace, des tracés de géométrie plane, de
chemins motivants vers les démonstrations de jolis résultats… Il savait convaincre
des mérites des « îlots déductifs » et de l’essor de l’intelligence à partir des derniers
acquis bien intégrés.
Encouragée par André Lichnérowicz, l’expérimentation OPC avait été, en 1973, à
peine tolérée par le doyen de l’Inspection Générale ! Sans doute ne fallait-il pas démoraliser
les troupes engluées dans les programmes officiels ! En juin 1977, pour
d’obscures raisons (économie ?,...) notre Recherche fut supprimée.

Quel héritage laissait-elle ?

OPC, L’APMEP, ET LES PROGRAMMES DE 4°-3° DE 1978

La dissolution, en 1975, de la Commission Lichnérowicz avait redonné aux Directions
des Collèges et des Lycées et à « leur bras armé », l’Inspection Générale, le soin de
décider des programmes.
Tard venue aux « Mathématiques modernes », l’Inspection Générale de mathématiques,
en sa majorité ou au moins en ses Doyens, se découvrait, vers 1976, une vocation à enchérir sur les …outrances de 1972 ! C’est ainsi qu’elle mit alors au point une
axiomatique de la géométrie plutôt ubuesque dans la pratique : par exemple, en Quatrième,
si l’on parlait bien du milieu d’un segment, défini par je ne sais plus quels
axiomes, on n’en ignorait pas moins qu’il était équidistant des extrémités (« la distance
 » sur la droite ne venant qu’en Troisième)…
Tandis que des animateurs IREM renchérissaient encore, la distance et l’orthogonalité
n’intervenant, en Troisième, qu’après la définition du produit scalaire de deux
vecteurs, l’Académie des Sciences en fut effrayée et, se préoccupant des classes de
Quatrième et de Troisième, y dénonça les intentions de l’Inspection Générale : il y eut
même des articles dans « Le Monde »… signés ou inspirés par Henri Cartan ou Gustave
Choquet. Ces articles ou contre-propositions étaient cependant fort théoriques.

Il en allait autrement de l’APMEP qui, grâce aux travaux OPC, allait, en 1977-
1978, produire un dossier à la fois incisif contre les délires axiomatiques avec prééminence
de l’affine, et solidement argumenté en des contre-propositions. Dossier qui
réussissait à convaincre une Direction des Collèges qui, le 20 juillet 1978, provoquait
une réunion entre l’APMEP (avec Claude Lassave et moi-même, délégués par Christiane
Zehren, nouvellement Présidente de l’APMEP), Gustave Choquet représentant
l’Académie des Sciences, et une délégation de l’Inspection Générale conduite par son
doyen E. Ramis. Le représentant de la Direction des Collèges obligeait celle-ci à tenir
compte prioritairement des points de vue de l’APMEP et de Gustave Choquet.

De là de nouveaux programmes de « consensus » entre des tendances radicalement
opposées ...qui, grâce à la priorité donnée à un point de vue (le métrique avant l’affine)
entamait un processus de reconstruction de l’enseignement mathématique en Collège
tournant le dos aux excès de 1972. Ces programmes ne nous satisfaisaient certes pas
totalement : en fin de journée, de graves divergences étaient apparues, en géométrie,
entre les tenants (l’APMEP !) d’une continuité avec les 6°-5° s’appuyant sur les notions
déjà dégagées, et ceux qui voulaient, en Quatrième, repartir de zéro.

Mais l’influence de l’O.P.C. n’allait pas s’arrêter là…

OPC ET LES PUBLICATIONS DE L’APMEP

Elle s’est immédiatement exercée à travers les publications de l’APMEP, par exemple
dans deux gros tomes « Géométrie du Premier Cycle », parus en 1978 et 1979,
avec notamment « La position de OPC sur l’axiomatique ».
Elle s’est clairement exprimée dans la brochure APMEP n° 34, parue en 1979,
consacrée à la recherche OPC, rédigée sous la seule responsabilité de l’équipe OPC
et de son animateur national Charles Perol. Dans cette brochure, je signais aussi « Une
équipe OPC et l’axiomatique » faisant état, notamment, d’évolutions vers des « délinéarisations
 » de l’enseignement des mathématiques. [2]
Les programmes de 1978 étaient d’un libellé court et sobre. L’APMEP s’est, en
deux brochures : « Activités mathématiques en Quatrième-Troisième », parues en
1979 et 1980, employée à en tirer le meilleur parti possible dans une optique « très
OPC ». Trente articles relevaient d’auteurs « OPC », notamment de Charles Perol,
« La géométrie de Quatrième par les dallages ».

VERS UN ENSEIGNEMENT À TRAVERS DES « PROBLÉMATIQUES  »

En 1980, l’APMEP « a créé un groupe de travail chargé de réfléchir, sans être
bousculé par les soubresauts de l’actualité, sur ce que pourrait être un renouvellement
de l’enseignement des mathématiques au Collège ».
Venus des équipes OPC, on trouvait son animatrice, Jeannine Cartron, ainsi que
Régis Gras, André Henneton, Charles Perol et moi-même… S’y adjoignaient Claude
Ansas, Louis Duvert, Jean-Pierre Ohran, Jean-Paul Bardoulat, Christian Hakenholtz
et Roger Maurin.
Conduit pendant quatre années, le travail du groupe devait déboucher sur trois documents
 :
 deux concernaient les objectifs, des modes d’enseignement, des méthodes [3]
 un autre proposait de réorganiser l’enseignement en Collège autour de « DIX
PROBLEMATIQUES ». [4] Ce document, largement inspiré par Régis Gras, fournissait,
par problématique (ainsi pour « Repérage dans le plan et sur la sphère »)
 des libellés « d’activités »,
 l’énoncé des « Savoirs et Savoir-Faire minimum - Objectifs minimaux et calibrage
 »,
 et, seulement après, celui de brefs « contenus », ensuite commentés.

Ces « problématiques » ne cessent, depuis, de hanter les efforts novateurs de l’APMEP.
Le relais a été pris pour les Lycées et, en avril 2003, est parue une importante
brochure APMEP [5] les concernant, brochure qui fait donc partie de la descendance
OPC.

VERS LES PROGRAMMES « COPREM » DE 1985

Les programmes de compromis de 1978 ne pouvaient qu’inciter à des choix plus
clairs.
Ils furent l’œuvre de la « COPREM » —«  Commission pour une réflexion sur l’enseignement
des mathématiques
 »— mise en place par le ministre Alain Savary à l’initiative
d’un des animateurs de l’APMEP, Jean-Louis Ovaert, relayé par Catherine Moisan du Cabinet du ministre. (La COPREM devait être continuée, après 1987, par
diverses Commissions successives…)
J’y étais dans le sous-groupe « Collèges ». Avec Daniel Reisz pour le sous-groupe
Lycées, et bien qu’à titre personnel, nous représentions « la sensibilité APMEP ».
Nous y avons bénéficié d’un appui de l’Inspection Générale d’alors avec son doyen,
Xavier Aubert, dans le groupe « Collèges », et Pierre Legrand aux Lycées.
Nous avons, pour les Collèges, pu faire passer pas mal d’idées travaillées au sein
du « courant Charles Perol » de l’OPC et du groupe APMEP qui avait débouché sur
les « Problématiques ».
Non pas tout, par exemple la structuration en problématiques, mais beaucoup ;
ainsi :
 l’intérêt apporté aux comportements, aux méthodes,
 celui d’incursions (motivées !) dans des hors-programmes,
 le refus de constructions axiomatiques minimales, la géométrie se développant à
partir des acquis des élèves à l’entrée en Sixième, [6]
 une progression continue, à partir de la 6°, sans coupure ni table rase entre 5°et
4°, ou entre 3° et Seconde, organisée en réseau « d’îlots déductifs »,
 une association transformations-configurations,
 des activités pratiquées en classe plus riches que ce qui, en un centrage sur l’essentiel,
sera exigé.

Tels quels, les programmes de Collège, depuis périodiquement un peu revus… et
allégés, notamment faute d’horaires suffisants, tiennent encore la route. Ils ne cessent
d’être ratifiés par les enseignants du « terrain »…
Ce qui ne signifie pas qu’ils doivent être pérennes : une part accrue des statistiques,
une initiation aux probabilités, un retour en grâce (sans pour autant chasser les outils
conjugués « transformations-configurations ») des cas d’égalité et de similitude,…
devraient s’imposer dans une vision globale Collège-Lycées abandonnée ces dernières
années et pourvu qu’un horaire décent soit retrouvé.

TOUT RESTE A FAIRE

Mais l’expérience OPC peut encore y être méditée, avec ses constants recadrages
et ses évolutions, évoqués par la brochure APMEP sur l’OPC :

Extrait : « L’apprentissage de « la démonstration » se fait traditionnellement, en
géométrie, à partir de propriétés de base reconnues comme telles et d’énoncés antérieurement
établis ou admis dans une suite de discours ordonnés en une progression
où les énoncés s’enchaînent explicitement et où le maître a impliqué (ou cru impliquer) l’élève.
C’est tout à fait logique dans le cadre d’un enseignement qui se veut une "exposition" de la mathématique, l’apprenti n’ayant qu’à absorber une nourriture préparée hors de lui. C’est trop restrictif dans l’optique d’un enseignement voulu comme activité mathématique qui, dans le cadre d’une planification minimale, s’efforce de susciter les initiatives et de les laisser se développer et veut placer l’élève en situation de chercheur. En effet, il faut alors accepter que, dans le foisonnement des problèmes, il y en ait qui échappent à une progression pré-établie. II faut aussi que la situation d’apprentissage bénéficie des mêmes possibilités que toute situation ultérieure de recherche.
Paradoxalement, cela entraîne un centrage sur l’essentiel :
 s’intéresser prioritairement au développement des diverses capacités des élèves (manipuler, expérimenter, observer, conjecturer, faire surgir des questions, douter et s’auto-contrôler, fabriquer et utiliser une documentation, rédiger et s’exprimer, démontrer, chercher, imaginer, inventer...).
 mettre l’accent, quant au contenu mathématique, sur les méthodes, et sur quelques énoncés-clés du programme (les autres relevant d’une documentation accessible).
Certes, il y a un équilibre à trouver entre les divers objectifs de l’enseignement, les fonctions didactiques qui s’ensuivent, et les méthodes à mettre en jeu pour les assumer au mieux. Cet équilibre est certainement fonction de l’élève, des élèves. Ce qui plaide pour une personnalisation accrue de l’enseignement selon les élèves.
Voilà donc nos approches d’un nouveau type d’enseignement en 4° et 3°.
Redisons qu’elles restent timides, maladroites, engoncées dans de vieux habits tout raidis...
A peu près tout est à faire, à découvrir... »

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Henri Bareil et Christiane Zehren

Notes

[1Présidente d’Honneur de l’APMEP, « alter ego » d’Henri,
comme il le disait lui-même

[2Ce texte est accesible en ligne sur le site de l’APMEP.

[3Ils ont fait l’objet d’articles dans les Bulletins n° 334,337 et 338 et d’une Plaquette de Janvier 1985

[4Cf."Supplément n°1 au Bulletin n° 345" d’octobre 1984

[5Deux tomes de "Pour un enseignement problématisé des mathématiques au lycée", brochures n° 150 et 154

[6Toute activité mathématique exige-t-elle, pour être valide, que tout pré-supposé soit explicité
et pris comme axiome ou démontré ?
Ma réponse est « non ». Je me garderai bien de me substituer à l’élève lorsqu’aucune problématique
ne l’a conduit à se poser réellement de questions. A quoi pourrait servir d’en faire un chien
savant d’une rigueur que rien, à son niveau, n’appelle ? Il n’y a pas lieu de l’enfermer, au départ,
dans une rigueur apparue au terme de longs cheminements et de problèmes, alors que rien ne la
motive encore.

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