par Henri
Lombardi.

Ellipses, novembre 2011.
208 p. en 19 x 24.

ISBN : 978-2-7298 70454, 27€.

L’épistémologie permet au mathématicien de
réfléchir à la vraie nature de son activité et
d’analyser les rapports entre cette pratique et
celle des autres sciences. L’histoire des
mathématiques est toujours en cours et ce
livre nous propose d’éclairer par l’histoire
quelques grandes questions telles que :
qu’est-ce qu’un objet mathématique, un
énoncé vrai, un théorème, une démonstration,
la méthode formaliste ? L’ouvrage présente
à la fois un cours d’épistémologie
mathématique, des analyses et comparaisons
de preuves et des textes historiques commentés
en particulier de Cauchy et de Poincaré.

 1) La rigueur en mathématiques (Géométrie
élémentaire, N, théorème fondamental de
l’algèbre).
 2) Analyse et preuves. Le pgcd (Antyphérèse
et théorème du pgcd, comparaison de deux
preuves, l’une abstraite classique, l’autre par
algorithme).
 3) Les entiers naturels (Un texte extrait de La
science et l’Hypothèse de Poincaré. Preuves
par algorithme et preuves par récurrence,
descente infinie).
 4) Analyse de preuves. Espaces vectoriels et
systèmes linéaires (Un texte classique sur la
théorie « abstraite », de la méthode du pivot à
la théorie de la dimension).
 5) Points de repères historiques sur l’infini
en mathématiques (Les Grecs, infinitésimaux,
géométries non-euclidiennes, Cantor,
paradoxes, programme de Hilbert, point de
vue formaliste ; un texte extrait de Science et
méthode de Poincaré, un texte sur l’infini
dans l’histoire, trouvé sur le Web).
 6) À propos de Cauchy et de l’uniformité (À
partir d’extraits du cours d’analyse de
Cauchy à l’École Polytechnique en 1821,
nombres et quantités, infiniment petits, infiniment
grands, continuité : globale, locale ou
ponctuelle ?, dérivée et théorème des accroissements
finis).
 7) Nombres réels et fonctions continues
(Valeurs intermédiaires, calculer avec les
nombres réels et avec une fonction continue ;
quatre exercices et, pour le premier, trois solutions
détaillées).
 8) La structure du continu (Théorèmes de
Cantor et de Heine-Borel).
 9) Cantor et l’infini actuel (Puissance du
continu, preuves constructives, paradoxes de
la théorie des ensembles : Russel, Banach-
Tarski, Hypothèse du continu et axiome du
choix).
 10) La calculabilité mécanique (Machines de
Turing, théorème d’indécidabilité, modèle de
Gödel, thèse de Church).
 11) On ne peut pas tout savoir (Impossibilité
liées aux suites calculables d’entiers, aux
nombres réels, aux problèmes diophantiens,
aux systèmes de preuves formalisés ; théorèmes
d’incomplétude de Gödel, arithmétisation
des mathématiques).

L’ouvrage s’achève par :

• A- une annexe consacrée à la logique des
  mathématiques constructives (objets de
  base, affirmer signifie prouver, connecteurs
  et quantificateurs, principes d’omniscience,
  principes problématiques).
• B- une bibliographie recensant des œuvres
  essentielles. où l’auteur a la modestie de ne
  pas citer ses nombreux articles du Bulletin et
  de Repères et ses contributions à la commission
  Inter-irem d’épistémologie.
• C- une chronologie des scientifiques, extraite
  de celle que l’on trouve sur le remarquable
  site d’histoire des mathématiques de l’université
  de St-Andrews en excluant les nombreux
  mathématiciens nés au xxe siècle et
  quelques autres (Maurice Fréchet). Il aurait
  suffi de donner l’adresse :
  http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk
  et un Index donnant à la fois les mathématiciens
  et les concepts rencontrés tout au long
  du texte

Il faut recommander la lecture de ce livre aux
étudiants de Licence pour les premiers chapitres,
et de Master, aux capésiens et agrégatifs,
mais aussi à tous les enseignants pour
prendre assez de recul sur les activités de
base, et organiser des ateliers pluridisciplinaires
avec des historiens, des philosophes et
des informaticiens