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Euler et le parcours du cavalier avec une annexe sur le théorème des polyèdres.

par Jacques Sesiano

Presses Polytechniques et Universitaires
Romandes, 2015.

272 pages en 16 x 24. Prix : 52,15€.

ISBN : 978-2-88074-857-9

Résoudre le problème du cavalier consiste à
parcourir une et une seule fois les 64 cases
d’un jeu d’échecs en respectant le mode de
déplacement du cavalier, c’est-à-dire avancer
ou reculer de deux cases dans une des deux
directions, et d’une case dans la direction
perpendiculaire. Quelques solutions étaient
connues avant Euler, dès le 9ème ou 10ème
siècle, y compris des trajets « fermés », où le
cavalier peut sauter de la case n° 64 à la case
n° 1. Ce problème, simple « récréation
mathématique
 » au même titre que celui des
ponts de Königsberg (également résolu par
Euler), a trouvé au moins une application
dans la création littéraire, à travers « La vie
mode d’emploi
 » de Georges Pérec (Cf.
article d’A. Gazagnes dans le BV no°511).

Euler, le premier, publia en 1758 un article
où il étudiait la question méthodiquement,
recherchant le plus grand nombre de solutions,
ajoutant des trajets avec des
contraintes supplémentaires (symétries, …)
ou sur d’autres figures (rectangles, croix,
…).
Jacques Sesiano analyse minutieusement
cet article, ainsi que des notes préparatoires
manuscrites.

Le volume est complété par une annexe sur
le théorème d’Euler sur les polyèdres :
F, A, S désignant respectivement les nombres
de faces, d’arêtes, de sommets, on a
F + S - A = 2 (pour tout polyèdre convexe, et certains non convexes, sous conditions).

Le plan de l’ouvrage est le suivant : Préface ;
Introduction ; I : Établissement d’un trajet
complet ; II:Trajets symétriques ; III : Trajets
sur d’autres figures ; IV : Prédécesseurs
d’Euler ; Annexe : Le théorème d’Euler sur
les polyèdres ; Bibliographie ; Index ;
Appendice I : L’article imprimé d’Euler sur
le parcours du cavalier ; Appendice II : Les
pages manuscrites d’Euler sur le parcours du
cavalier. Les deux appendices sont des fac simile
intégraux des documents d’époque.

Concernant la marche du cavalier, Euler n’a
fait qu’appliquer systématiquement une
remarque de Louis Bertrand qui permet de
modifier l’ordre des cases d’un trajet et de lui
en adjoindre de nouvelles. L’article original
est remarquablement clair, les commentaires
de Sesiano peuvent par moments sembler
une paraphrase redondante (ce qu’il admet
page 24) ; mais sur certains points, ils aident
à suivre la pensée eulérienne, ils suggèrent
des améliorations, ils soulignent des hésitations
et repentirs d’Euler ; et ils sont indispensables
pour déchiffrer le manuscrit, où les
tableaux de nombres ne sont assortis que de
rares remarques indifféremment en français,
allemand ou latin.

J’émettrai quelques réserves sur la structure
du texte : pourquoi les prédécesseurs sont-ils
étudiés après Euler ? Pourquoi quasiment
rien n’est-il dit de ses successeurs ? Par qui,
et quand, a-t-il été montré que le nombre de
trajets dépasse le milliard, comme il est dit
page 21 ? quid du traitement informatique,
de l’algorithmisation du problème ? Voilà
quelques questions que j’aurais aimé voir
abordées ; ainsi que celle-ci : a-t-il été
démontré que le procédé de Bertrand-Euler
permet toujours de transformer un trajet
incomplet en un trajet complet ? L’annexe
sur les polyèdres est, à ce niveau, moins frustrante
 : on y trouve, après celles d’Euler, les
démonstrations et généralisations de
Legendre, Cauchy, Lhuilier. Cependant on
aurait pu y évoquer une approche topologique
 : sauf erreur de ma part, la formule est
valable pour tout polyèdre homéomorphe à
une sphère et dont toutes les faces sont
homéomorphes à des disques.

Cet ouvrage, qui inclut de brèves biographies
d’auteurs cités, doit être vu comme une étude
historique plus que mathématique ; on y trouve
quelques détails peu connus, comme l’utilisation
par les arabes d’un double système
de numération : chiffres indiens et symboles
alphabétiques. Son intérêt essentiel est de
faire lire Euler, y compris par ceux qui ne
seraient pas spontanément allés chercher ses
écrits originaux ; de montrer sa rigueur et sa
clarté, d’étudier la marche de sa pensée vers
une extension de ses résultats.

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