Exercices Exercice 510-1 Michel Lafond – Dijon arithmétique n est un entier naturel positif écrit en base dix. On note d(n) le dernier chiffre de n et s(n) la somme des chiffres de n.
Si $a=\frac3^2014-12$ démontrer que d(a) = s(s(s(a))).
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Exercice 510 - 2 Greg Leceul – Detroit only rule Deux cercles concentriques étant donnés sans leur centre, retrouver celui-ci à la règle seule (sans graduation).
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Exercice 510 - (...)

Résumé Quatre exercices, dont deux de géométrie dans l’espace, relativement faciles pour les élèves, l’un sur un cube et l’autre sur un prisme droit, les deux derniers étant des recherches d’erreurs sur des raisonnements faux, relatifs à des problèmes sur les angles d’un triangle.
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Remarque, NB etc ...
Exceptionnellement, les exercices proposés dans ce numéro ne sont pas extraits de Corol’aire (Journal de la Régionale APMEP Poitou-Charentes), signe de (...)

Exercices Exercice 509–1 Amahl Servois – Besançon Les points B et C sont du même côté d’un obstacle. On veut déterminer de l’autre côté de l’obstacle un point qui sera sur la droite (BC).
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Exercice 509–2 pour nos élèves
A. a est un réel positif tel que $a^2+\frac1a^2=5$. Déterminer la valeur de $a^3+\frac1a^3$
B. On écrit au tableau les entiers naturels de 1 à n. Un des nombres est effacé. La moyenne des n − 1 entiers restants est égale à $46 + \frac2023$. (...)

Exercices Exercice 508-1 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach Une lunule d’Hippocrate est délimitée par le demi-cercle de diamètre [AB] et le quart de cercle (OAB) de centre O. On demande de partager cette lunule en n parties d’aires égales, par des rayons issus de O.
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Exercice 508–2 Michel Lafond – Dijon Calcul de minimum Soit le polynôme $P(x) = x^6 + 2x^4 - 2x^3 + 199810x^2 - 272672x + 93026, x \in \mathbb R$ . Démontrer que P (x) est strictement positif (...)

Exercices Exercice 507-1 Raphael Sinteff – Nancy Soient FGH un triangle équilatéral et $\mathcalH$ l’hyperbole de foyer F, de directrice (GH), d’excentricité 2.
Construire à la règle et au compas les sommets S, S’ et le centre O de l’hyperbole $\mathcalH$.
Montrer que les droites (OG) et (OH) sont les asymptotes de l’hyperbole $\mathcalH$.
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Exercice 507-2 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach Démontrer que la distance du centre de gravité au centre du cercle (...)

Serge PARPAY
Exercices
Exercice 461-1
Trouver les valeurs entières de x et de y qui satisfont aux deux équations : $$\left \ \beginarrayr c l x^3 + y^3 &=& 468 \ x^5 + y^5 &=&19932 \endarray \right.$$
(Charles de Comberousse 1923)
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Exercice 461-2
« La somme des volumes des pyramides ayant pour bases les faces latérales d’un prisme et pour sommet commun un point quelconque intérieur au prisme, est constante. Dans quel rapport (...)

Exercices
Exercice 460-1 Résoudre l’équation $x^3+3x = a^3-\frac1a^3 $ sans avoir recours à la formule de Cardan, c’est-à-dire en la mettant sous une forme particulière. (Ch. de Comberousse, Cours de Mathématiques 1923).
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Exercice 460-2 Peut-on construire, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, un triangle équilatéral ABC tel que les coordonnées de A, de B et de C soient des nombres entiers ?
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Exercice 460-3 Soit (...)

Exercices
Exercice 463-1 (Marie-Laure Chaillout - Épinay/Orge) Soit a un paramètre entier naturel. Résoudre dans $\mathbb N^2$ l’équation : $$2^x-(2^2^a+1)^y=2^2^a-1$$
Exercice 463-2(Georges Lion - Wallis) Sur C, cercle circonscrit à un triangle ABC, construire le point M dont la droite de Simpson est parallèle à une droite donnée.
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Exercice 463-3 (Pascale Pombourcq - Montvalen)
Construire un triangle isocèle ABC connaissant la base BC et la longueur de la (...)

Exercices
Exercice 464-1 (Georges Lion – Wallis, et Maurice Starck – Nouméa) En le point Q milieu d’une corde [AB] d’un cercle C se coupent deux cordes [UV] et [XY] ; la droite (AB) coupe (UX) en M et (VY) en N. Montrer que Q est aussi le milieu de [MN]. On souhaite une solution sans calculs et, si possible, élémentaire.
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Exercice 464-2 À tout point P intérieur à l’ensemble E délimité par le segment [AB] et (...)

Exercices Exercice 468-1 (Jean-Christophe Laugier - Rochefort) – Corol’aire n° 65
Déterminer des entiers A et B tels que A / B = 0,2006… avec B minimal.
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Exercice 468-2 (Jacques Bouteloup - Rouen)
On considère un cercle (C), un diamètre [AB], une corde [CD] parallèle à [AB], et un point M de la droite (AB) (et non du segment [AB]) ; (MC) et (MD) recoupent (C) en E et F ; la perpendiculaire en M à (AB) coupe (CD) et (EF) en H et K.
1) Démontrer que M est le (...)

Exercices Exercice 506 - 1 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach. Une duplication du cube sur une idée de Claude Comiers
Le triangle ABC est rectangle en C, d’hypoténuse AB double du côté BC et de milieu D. Une droite issue de A coupe la demi - droite [CB) en F et le cercle de diamètre [AB] en E tels que AD = DE = EF.
Démontrer que $BF^3 = 2BC^3$.
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Exercice 506 - 2 Marie-Nicole Gras – Le Bourg d’Oisans d’après les Olympiades suédoises (...)

Exercices
Exercice 494-1 (Daniel Riesz - Auxerre) A proposer à nos élèves de collège Un rectangle ABCD a pour largeur AB = 4 et contient trois cercles tangents entre eux et aux cotés du rectangle comme indiqué sur la figure ci-contre. Quelle est sa longueur ?
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Exercice 494-2 (Ali Akir – Tunis) Trouver le terme général de la suite u dans chacun des cas suivants : a) $p \in \mathbb N$ ; u est définie sur $\mathbb N$ par $\beginequation* \left~(...)

Errata de l’énoncé de l’exercice 484-3
L’équation correcte est $3x^2 − 8y^2 + 3x^2 y^2 = 2008$ et non pas $3x^2 + 8y^2 + 3x^2 y^2 = 2008$.
Avec toutes mes excuses pour cette faute de frappe. Cette erreur avait été repérée trop tardivement pour être rectifiée avant la publication du BV. Elle a été signalée sur le site de l’APMEP dès la parution du no 484.
Pour me faire pardonner, je vous livre la récréation suivante que certainement beaucoup d’entre vous connaissent déjà, mais que j’ai (...)

Exercices
Exercice 491-1 (Daniel Reisz – Auxerre) (exercice d’algèbre proposé à l’Université de Cambridge en 1877)
Trois Hollandais de mes amis, Henri, Nicolas et Corneille, récemment mariés, sont venus me faire une visite avec leurs femmes Gertrude, Catherine et Anna, mais j’ai oublié le nom de la femme de chacun en particulier. Ils m’ont dit qu’ils avaient été acheter des cochons au marché. Chacun d’eux en a acheté autant que le prix qu’il a payé pour un cochon. Henri a acheté 23 cochons de plus que (...)

Exercices Exercice 505 - 1 Jean-Yves Hély – Rennes issu du Baccalauréat séries scientifiques, Lyon 19.. ( ?) _ Étant donné sur une circonférence dont le centre est O, un arc BC, du milieu A de cet arc, on mène les deux autres sécantes AFD et AGE.
Démontrer que l’on a $FE \times DG = DF \times GE + FG \times DE.$
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Exercice 505 - 2 Jean-Pierre Friedelmeyer – Strasbourg Trouver toutes les paires de fractions $\left\ \fracpq, \fracrs \right\$, avec p, q, r, s (...)

Exercices Le thème du dossier de ce numéro 504 m’a incité à vous proposer des exercices de-ci, de là-bas. Le niveau ne dépasse pas la fin de notre secondaire et à ce titre les exercices doivent pouvoir être proposés à nos élèves. Les notations, inhabituelles, se comprennent aisément. Il en va relativement de même du texte…
Ne parlant couramment ni la langue de Goethe ni celle de Cervantès, quand j’ai vraiment été pris à défaut, le pourtant très mauvais traducteur de Google a suffi à me faire (...)

Exercices Exercice 503-1 Daniel Reisz-Auxerre $2^\left[ (5/2)^2/5 \right]$ n’est certes pas égal à e, mais … il s’en faut de moins d’un cent millième comme le montre le logiciel Maxima : Est-ce là pur hasard ou y a-t-il une explication ?.
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Exercice 503-2 proposé par l’équipeMayhem de la revue canadienne Crux Mathematicarum Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l’ensemble $\mathcal E$ des points de coordonnées (x ; y) qui (...)

Exercices
Exercice 502-1 à proposer à nos élèves
A. Puzzle : d’un rectangle à un carré Le principe est celui d’un découpage en escalier comme le montre la figure ci-dessous. a) Découper en deux morceaux un rectangle de 16,2 cm de long sur 12,8 cm de large pour en faire un carré. b) Indiquer comment l’on découperait un rectangle de 8192 sur 7938.
B. Balance de Rob……erval énigme proposée par Sam Loyd Si une pyramide pèse une livre, combien pèsent les huit cubes ?
C. Tangente exercice (...)