Exercices « De-ci de-là »
Exercices de-ci de-là du BV 487 Exercices
Exercice 487-1 : Daniel Reisz – Auxerre (d’après la Compétition mathématique des pays Baltes 2004)
Soit un rectangle ABCD de dimensions $3 \times 4$. Sur chaque coté on choisit un point. Ces quatre points sont les sommets d’un quadrilatère convexe dont les cotés mesurent $x$, $y$, $z$ et $t$. Encadrer au mieux la somme $x^2 + y^2 + z^2 + t^2$.
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Exercice 487-2 : Pythagore sans les carrés... ?
Démontrer que : dans un triangle rectangle, la somme des (...)Exercices de-ci de-là du BV 484 Exercices
Exercice 484-1 (Georges Lion – Wallis) A, B et C sont trois points non alignés tels que AB = AC. I est le milieu de [BC] et $C$ le cercle de centre I tangent à (AB) et (AC). M $\in$ [AB] et N $\in$ [AB] sont tels que (MN) est tangente à $C$. Démontrer la relation : $BM \times CN=BC^2 \over 4$
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Exercice 484-2 (Daniel Reisz – Auxerre) D’après un exercice proposé à l’olympiade suisse de 2005 Tailler un polygone convexe c’est lui couper un coin, un (...)Exercices de-ci de-là du BV 488 Exercices
Exercice 488-1 : Bruno Alaplantive – Calgary L’association maintient le cap : Pour les maths !
$CAP \over PLM=.APMEP\ APMEP \ APMEP ...$
Dans cette fraction et sa notation décimale, de période de longueur 5, chaque lettre représente un chiffre différent. La notation est à l’anglo-saxonne avec un point à la place de la virgule et le zéro n’est pas écrit. À l’instar de notre chère centenaire, la fraction est naturellement irréductible ! Déterminer la solution et son unicité.
voir (...)Exercices de-ci de-là du BV 486 Nouveaux exercices
Exercice 486-1 : un classique sous contrainte Construire le point M de (d) qui minimise MA+MB sans sortir du cadre.
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Exercice 486-2 : B. Lefebvre - Namur
Démontrer le critère de divisibilité par 7 suivant. Le reste de la division d’un nombre entier par 7 s’obtient par cette méthode peu connue : on multiplie le premier chiffre de gauche par 3, puis on ajoute le chiffre suivant ; on multiplie le résultat par 3, puis on ajoute le (...)Solutions de l’exercice 495_3 Diaporama en complément de la solutions du 492-2 Compléments aux solutions du problème 492-1 Exercice 492_1
FICHIERS Geogebra complémentaires Conjecture
<geogebra19367|width =800|height=600>
|showMenuBar=true |showToolBarHelp=true |showToolBar=true>Exercices de-ci de-là du BV 480 Ces exercices ont été publiés dans le BV 481 sous le nom d’exercices 480-xx.
EXERCICES
Exercice 480-1 (Daniel Reisz – Auxerre)
Que peut-on dire de la suite de réels $(u_n)$ vérifiant $u_1 = 1$ et, pour tout m et n,
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Exercice 480-2 (Daniel Reisz – Auxerre)
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Exercice 480-3 (Daniel Reisz – Auxerre)
Quel élève n’a pas eu au moins une fois dans sa vie mathématique la tentation d’écrire (f g)’ = f ’g’ ?
Y a-t-il des (...)Exercices de-ci de-là du BV 492 Exercices
Exercice 492-1 Guerre froide (d’après les olympiades mathématiques de l’Union Soviétique 1965)
Un avion espion vole à la vitesse de 1000 km/h en décrivant un cercle de centre O et de rayon 10 km. On tire un missile depuis O. Il va à la même vitesse que l’avion et sa trajectoire est telle qu’il reste toujours aligné entre O et l’avion. Au bout de combien de temps atteint-il l’avion ?
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Exercice 492-2 Jean-Yves Le Cadre – Saint Avé (issu du cours de (...)Compléments aux solutions des exercices du n° 485 1- Compléments aux solutions de l’exercice 485-2 : un florilège !
Une autre démonstration disponible sur
le site cut-the-knot
et une animation cabri qui en est issue :
<cabri11027|autocontrol=true>
2-Complément aux solutions de l’exercice 485-4 proposé par Michel SarrouyExercices « De-ci, de-là » du BV 470 Serge PARPAY
Exercices
Exercice 470-1 (Corol’aire no 41)
Démontrer que, pour tout ensemble x, y, z de trois nombres réels quelconques, on a : $|x + y| + |y + z| + |z + x| \leq |x| + |y| + |z| + |x + y + z|$.
À quel moment a-t-on l’égalité ?
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Exercice 470-2 (Raymond Raynaud-Digne)
Étant donné un carré ABCD, quel est le lieu L du point M de son plan tel que les deux cercles ABM et CDM aient le même rayon ?
voir l’article où est publiée la solution (...)Exercices « De-ci, de-là » du BV 472 Exercices
Exercice 472-1. Olympiades suédoises (Supplément au Corol’aire n°18)
Quelle est la circonférence du plus grand cercle que l’on peut tracer dans les carrés noirs d’un échiquier dont les carrés ont 4 cm de côté ?
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Exercice 472-2 Petits exercices pour amateurs (Supplément au Corol’aire n° 23)
a) Soient quatre points alignés A, B, A’, B’, avec AB < A’B’. Construire le centre d’homothétie transformant [AB] en [A’B’]. b) Sur une droite, trois points A, B et (...)Exercices « De-ci, de-là » du BV 473 Exercices Exercice 473-1 (Michel-Hébraud - Toulouse)
Au sujet de l’exercice 469-2 (Bulletin n° 472, page 776), Michel Hébraud propose : « Pour aiguiser la curiosité, compléter la figure en définissant l’intersection des droites (DE) et (BC) en V. Le quadrangle ainsi défini a des propriétés intéressantes. Mais il y a bien d’autres pistes… ».
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Exercice 473-2 (Denis Page - Bourg-en Bresse)
Déterminer les extremums de cos a + cos b + cos c, sin a + sin b + sin c et (...)Exercices « de-ci, de-là » du BV 474 Exercices Exercice 474-1 (Raymond Raynaud - Digne)
Étant donné un triangle équilatéral ABC de hauteur h, on désigne par f(M) la somme des distances d’un point M du plan aux droites (AB), (BC) et (CA).
Quel est le lieu des points M tels que f(M) soit égale à une longueur donnée l ?
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Exercice 474-2 (Georges Lion - Wallis)
Dans son intéressant article (Bulletin Vert n° 470), Éric Barbazo cite l’étude de la fonction $(x+\frac1x)\sqrt\frac1x$ proposée en première (...)Complément à : Exercices de-ci, de là Bulletin Vert 484, septembre-octobre 2009
page 694 Exercice 484-3
C’est pas dans la poche…
À l’exercice de-ci, de-là 484-3 du n° 484 du BV,
il faut lire \(3x^2 - 8y^2 + 3x^2y^2 = 2008\)
et non pas \(3x^2 + 8y^2+ 3x^2y^2 = 2008\)
qui, elle, n’a pas de solution entière, foi d’australien.
Qui peut le moins ne peut pas forcément le plus.
Le coupable est condamné à 2008 sauts de kangourou !
page 695 à 698 : Solutions de l’exercice 480-2
Animations GeoGebra citées page 698
Première animation (...)exercices de-ci de-là du BV 478 Serge Parpay
EXERCICES
Exercice 478-1 (Pierre Duchet et Jean Moreau de Saint-Martin – Paris)
Soit $(\Delta)$ une droite et O un point extérieur à la droite. On considère un nombre indéterminé de points $A_i$ de $(\Delta)$ tels que les cercles inscrits dans les triangles $OA_iA_i+1$ aient tous même rayon r. Démontrer que, quel que soit k, les cercles inscrits dans les triangles $OA_iA_i+k$ ont tous même rayon $r_k$.
Michel Hébraud (Toulouse) nous avait signalé cet exercice, donné dans la rubrique (...)Complément à la rubrique « de ci, de là » Georges Lion nous a fait parvenir, après la parution du BV 467, une nouvelle solution de l’exercice référencé 467-1 dans ce BV.
Télécharger cette solution :Exercices « De-ci, de-là » du BV 469 Enoncés
Exercice 469-1 (Louis Rivoallan (La Rochelle) – Corol’aire n° 59
On considère les nombres à n chiffres (en base dix) tels que leur carré se termine par les mêmes n chiffres. On accepte que contrairement à l’usage, les chiffres « de gauche » soient égaux à 0. Il y a à l’évidence deux nombres qui répondent à la question : 0 et 1, que l’on fait précéder de (n-1) zéros avec la convention précédente. Montrer, que pour tout n, il y a exactement 2 autres nombres écrits avec n chiffres qui répondent à cette (...)