451

Exercices de-ci de-là du BV 451

Exercices

Exercice 451-1 (Transmis par Daniel Reisz).
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ et $r$ le rayon du cercle centré sur l’hypoténuse
et tangent aux deux côtés de l’angle droit. Comparer $\dfrac{1}{r}$ et $\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.
voir l’article où est publiée une solution

Exercice 451-2 (Géométrie théorique et pratique. Eysseric et Pascal, Delagrave 1874
– Enseignement secondaire spécial et baccalauréat ès sciences –).
Diviser un trapèze en deux parties équivalentes par une parallèle aux bases.
voir l’article où est publiée une solution

Exercice 451-3 (Leçons de géométrie. Jacques Hadamard – Armand Colin 1901).
Tout plan mené par les milieux de deux arêtes opposées d’un tétraèdre divise ce
solide en deux parties équivalentes.
voir l’article où est publiée une solution

Exercice 451-4 (Olympiades)
Dans une boîte cubique, d’arête unité, sont enfermées 2 001 mouches. Montrer
qu’il existe à tout moment une boule sphérique de rayon $\dfrac{1}{11}$où se trouvent trois mouches au moins.
voir l’article où est publiée une solution

Exercice 451-5 Pour matheux superstitieux. (Jean Christophe Laugier, Rochefort)
Dans une année civile, combien y a-t-il de vendredi
13 au plus ? Combien y en a-t-il au moins ? Combien en moyenne ? (on supposera
pour simplifier que toutes les années dont le millésime est divisible par 4 sont
bissextiles).
voir l’article où est publiée une solution

Exercice 451-6 (Maillard et Millet. Classe de mathématiques)
On considère deux nombres entiers (positifs) $a$ et $b$ tels que $a^2 + 2b$ soit un carré parfait.
Mettre $a^2 + b $ sous la forme d’une somme de carrés d’entiers.
voir l’article où est publiée une solution
voir l’article où est publiée une autre solution

Exercice 451-7 (Jacques Drouglazet. Surgères)
$a$ désignant un nombre réel ou complexe non nul donné, on considère la suite
numérique $(u_n)$ définie par $u_0=1$ , $u_1 = 1$ et $u_{n+2}= u_{n+1} +u_n + a . u_n . u_{n+1}$ pour tout $n$ entier naturel.

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. En particulier, pour $a = - \dfrac{1}{2}$, quelle est la limite de $u_n$ quand n augmente indéfiniment ?
voir l’article où est publiée une solution

Exercice 451-8
Montrer que tout entier impair non divisible par 5 a un multiple dont l’écriture ne
comporte que des 1.
voir l’article où est publiée une solution
voir l’article où est publiée une autre solution

Remarque sur les problèmes et exercices de l’APMEP

En réponse à diverses demandes, la Commission du Bulletin engage, avec l’aval de
notre Président, une partition de la rubrique « Problèmes » :

– toujours avec le même intitulé « Problèmes de l’APMEP » et le même
responsable, François LO JACOMO, la rubrique traditionnelle se poursuivra,
mais selon de nouvelles modalités explicitées en son en tête.

– une rubrique nouvelle voit le jour dès ce numéro.
Intitulée « Exercices de ci, de là » – allusion à son mode de collecte d’énoncés –,
elle est confiée à Serge PARPAY et son équipe de Poitevins (ouverte à tout autre
collègue !), d’où sa signature : « Le groupe du CLAIN » [1]
Elle devrait comporter des énoncés plus modestes, donc proposables aussi à nos
élèves. Réagissez pour nous dire si ce but est suffisamment atteint ! D’avance
merci !

Nous remercions chaleureusement François LO JACOMO et Serge PARPAY avec
son équipe pour leur amical investissement dans ces deux nouvelles démarches.

Henri BAREIL et Christiane ZEHREN.

Exercices de ci, de là

Ne vous attendez pas à des exercices sophistiqués et très techniques. Partisans de
l’humour, nous ne voulons pas nous prendre trop au sérieux (plus près de Pierre Dac
que d’Emmanuel Kant).
À l’image de notre page « Rubricol(l)age » de « CORO’LAIRE » (publication de la
Régionale APMEP de Poitou-Charentes) nous répercuterons une idée simple, un
passage intrigant d’un article savant qui nous pose question, un exercice curieux
rencontré dans un livre (souvent ancien), un problème proposé par un collègue…
Des solutions seront publiées, mais sans développement excessif : nous ne voulons
pas faire trop de « mathtraitance »…. Nous accepterons évidemment avec plaisir des
envois d’exercices et de solutions – dans la limite du raisonnable –.

Le groupe du CLAIN [2]

Notes

[1« LE CLAIN », par référence à une publication, appréciée, de l’IREM de Poitiers lors des
années 70 (le Clain est une rivière qui arrose Poitiers) et en clin d’œil, aussi, au grand Félix
KLEIN.

[2AMPEP (Groupe du CLAIN)
IREM, Faculté des Sciences
40 avenue du Recteur Pineau
86022 POITIERS Cedex.

L’APMEP

Brochures & Revues
Ressources

Actualités et Informations

Actualités et Informations avec nos partenaires

Base de ressources bibliographiques

Publimath, base de ressources bibliographiques

 

Les Régionales de l’APMEP

les Régionales de l'APMEP