453

Exercices de ci, de là du BV 453 et solutions des 451-2 et 451-6

Exercices

Exercice 453-1
Un jardinier doit faire un massif en forme d’ellipse. Il connaît l’emplacement et la
longueur du grand axe AB. Le massif doit border le regard P d’une canalisation,
c’est-à-dire que l’ellipse devra passer par le point P – ce point est situé à l’intérieur
du cercle de diamètre AB et ne se trouve pas sur AB ni sur la médiatrice de AB –.
Le jardinier dispose d’un cordeau de longueur AB terminé par deux piquets et de
deux autres piquets.
Dites comment il tracera son ellipse, sachant qu’il s’impose de
ne pas planter de piquet à l’extérieur de la future ellipse.
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Exercice 453-2
Show that the volume of a cone inscribed in a sphere cannot be more than $\dfrac{8}{27}$ of
the volume of the sphere.
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Exercice 453-3
In triangle ABC, PQ is drawn parallel to BC such
$PQ = PB$. AP and AQ are 3 cm and 4 cm respectively. If
BC is 2 cm longer than PQ, find the measure of angle
BAC. (On peut arrêter l’exercice au calcul des
longueurs du triangle ABC).

NDLR : Les exercices 2 et 3 sont tirés de Mathematical
Association of South Australia 1989.

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Exercice 453-4
Découpage d’aires dans un carré. Soit un carré
ABCD de coté 10 et M et N les milieux des cotés CD et
BC. Quelle est l’aire de la région b ?

Remarque : Daniel Reisz, d’après une idée de Ed Barbeau dans un article
de ce dernier dans Notes de la SMC (Société Mathématique du
Canada) Volume 36, n°4, mai 2004.

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Exercice 453-5
L’octogone du Texas. La revue FOCUS de la Mathematical Association of
America (MAA) rapporte dans son numéro de décembre 2003, sous le titre The Texas
Octogon Massacre
l’affaire suivante :
Dans une épreuve de mathématiques d’un
examen public de l’État du Texas était posé le problème suivant :
Dans l’octogone ci-contre on a :
OA = 4,6 cm et OH = 4 cm
Parmi les entiers

41, 36, 27, 18,
quel est celui qui est le plus proche de la longueur du
périmètre ?

Premier calcul. Utilisation de Pythagore :
$p_1=16\sqrt{4,6^2-4^2} \approx36,34$
et la réponse serait donc 36.

Deuxième calcul. Utilisation du sinus :
$p_2=16 \times 4,6 \times sin\dfrac{2\pi}{16} \approx 28,16$
et la réponse serait alors 28.

Troisième calcul. Utilisation de la tangente :
$p_3=16 \times 4 \times tan\dfrac{2\pi}{16} \approx 26,51$
et la réponse serait 27.

Trois périmètres pour un seul octogone, cela fait beaucoup…

Daniel Reisz

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Solutions

Exercice 451-2
Diviser un trapèze en deux parties équivalentes par une parallèle aux bases.

Solution de Bruno Alaplantive

Exercice 451-6
On considère deux nombres entiers (positifs) $a$ et $b$ tels que $a^2 + 2b$ soit un
carré parfait.
Mettre $a^2 + b$ sous la forme d’une somme de carrés d’entiers.

Solution de Bruno Alaplantive

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