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Exercices de géométrie comprenant l’exposé des méthodes géométriques

et 2000 questions résolues

F.G-M. : Frère GABRIEL-MARIE – Edmond BRUNHES (nom civil), 1838- 1916 – Supérieur des Frères des Écoles Chrétiennes de 1897 à 1913.

Reproduction en fac-similé en 670 pages denses, format à l’italienne, de la sixième édition (1920, 1302 p).

Éditions Jacques GABAY, 151 bis rue Saint Jacques, 75005 Paris.

Prix : 89 €. ISBN : 2-87647-083-7.

Dans ce qui suit, les numéros renvoient à la pagination d’origine.

Complément au cours de géométrie, l’ouvrage commence par l’exposé des méthodes qui pour l’auteur constitue la partie la plus importante et la plus originale de tout l’ouvrage « car l’exposition des méthodes fait naître et développe les idées générales ; elle permet de rattacher des milliers d’exercices variés à quelques types principaux, … ».

Méthodes :
- L’Analyse et la Synthèse (I, p. 1 à 24) ou méthodes générales ;
- Les Lieux géométriques (II, p. 24 à 59) avec quelques pages consacrées aux enveloppes  ;
- L’emploi des figures auxiliaires (III, p. 60 à 87) ;
- La Transformation des figures (IV, p. 87 à 116), « puissant moyen d’investigation […] pour découvrir de nouveaux théorèmes, ou pour trouver d’heureuses solutions » ;
- La Discussion et l’Extension (V, p. 116 à 150) ;
- La Méthode algébrique (VI, p. 150 à 179) qui « fournit, pour un grand nombre de questions, des solutions parfois peu élégantes, il est vrai, mais toujours faciles à imaginer. » ;
- Les Maxima et les Minima (V, p. 179 à 210), « l’inscription d’une figure d’aire maxima, celle d’un volume maximum, de même que la circonscription d’une figure d’aire minima ou d’un volume minimum, n’exigent la connaissance que d’un seul problème  : celui de la tangente (pb. 310, p. 163) ».

La suite du livre est constituée d’un recueil d’exercices partagé en livres structurés de la même façon. On trouve d’abord des théorèmes, puis des lieux géométriques, et enfin des problèmes. Dans chaque groupe l’ordre de difficulté est gradué, d’exercices très faciles jusqu’à « des questions offrant plus d’intérêt et plus de difficultés ». L’auteur avouant même « sans peine que plusieurs questions réputées difficiles ont trouvé place dans notre recueil »… Certaines, telles le Théorème de Ménélaüs, le Problème de Pappus sont désignées par leur appellation historique, d’autres sous le nom de leur auteur, problème de Malfatti, problème de Castillon par exemple. Elles sont alors accompagnées d’une notice historique bienvenue.

Exercices :

LIVRE I (p. 211 à 262)

Théorèmes : Angles. – Perpendiculaires et obliques. – Parallèles. – Trois droites concourantes. Triangle quelconque. – Triangle isocèle. – Triangle rectangle. – Parallélogramme. – Trapèze. – Quadrilatère quelconque.

Lieux géométriques.

Problèmes : Maxima et minima.

LIVRE II (p. 263 à 454)

Théorèmes : Distances et cordes. – Tangente. – Mesure des angles. – Figures inscrites au cercle. – Polygones curvilignes. – Cercle circonscrit à un polygone. – Polygones circonscrits au cercle. – Lignes concourantes. – Points en ligne droite. – Figures inversement égales.

Lieux géométriques : Lieux à proposer. – Emploi d’une relation linéaire. – Emploi d’une relation angulaire.

Problèmes : Distances diverses. – Sécantes. – Angles. – Droites et circonférences sécantes. – Tangentes et raccordement des lignes. – Construction des triangles isocèles ou rectangles. – Construction des triangles quelconques. – Construction des quadrilatères. – Maxima et minima. – Questions diverses.

LIVRE III (p. 455 à 734)

Théorèmes : Lignes proportionnelles. – Similitude et homothétie. – Figures planes inversement semblables. – Relations numériques dans le triangle. – Relations numériques dans le quadrilatère. – Transversales. – Circonférences. Situation. – Circonférences. Relations numériques. – Figures inverses. – Inversion symétrique. – Note sur l’inversion.

Lieux géométriques : Relation de rapport et point de concours. – Relation de produits ou de carrés.

Problèmes : Lignes proportionnelles. – Recherche des relations numériques. – Circonférences tangentes. – Droites et circonférences sécantes. – Figures inscrites ou circonscrites. – Construction des triangles. – Construction des quadrilatères. – Applications des relations numériques. – Questions diverses. – Problème de Malfatti.

LIVRE IV (p. 735 à 863)

Théorèmes : Aires des figures. – Relations déduites de la considération des aires.

Problèmes : Construction des figures. – Division des figures. – Note sur la division des polygones. – Maxima et minima. Polygones. – Figures inscrites ou circonscrites au cercle. – Relations à déterminer. – Quadrilatère à la fois inscriptible et circonscriptible. – Surfaces à périmètre curviligne. – Questions diverses. – Théorème et figure de Vecten.

LIVRE V (p. 864 à 886) Théorèmes : Droite et plan. Trièdres. – Quadrilatère gauche.

Lieux géométriques.

Problèmes.

LIVRE VI (p. 887 à 930)

Théorèmes : Géométrie de position. – Volume des polyèdres. – Relations numériques. Problèmes : Maxima et minima. – Recherche des formules. – Polygones et polyèdres étoilés.

LIVRE VII (p. 931 à 1014)

Théorèmes : Méthodes pour évaluer les volumes. – Volumes et relations. – Inscription et position. – Triangles sphériques. – Inversion dans l’espace. – Cônes, conoïdes, domoïdes.

Lieux géométriques.

Problèmes : Constructions graphiques. – Problèmes littéraux. Relations. – Maxima et minima.

LIVRE VIII (p. 1015 à 1117)

Théorèmes : Ellipse. – Hyperbole. – Parabole.

Lieux géométriques et enveloppes.

Problèmes : Ellipse et hyperbole. – Problèmes relatifs à la parabole. – Problèmes sur l’hélice. – Maximum et minimum. – Questions diverses. – Note sur la conique sphérique.

PROBLÈMES NUMÉRIQUES (p. 1118 à 1129)

Indications et exemples. – Segment circulaire. – Métrés. – Rectification approximative d’un arc de cercle. – Longueur de l’ellipse.

GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE (p. 1130 à 1259)

Historique et biographie. – Coordonnées trilinéaires. – Résumé et complément. – Coordonnées angulaires. – Antiparallèles. – Inversion isogonale. – Symédianes. – Point de Lemoine. – Cercles de Lemoine, etc. –

Lieux géométriques. – Points et cercle de Brocard. – Droites isoclines. – Centre permanent de similitude. – Deux figures semblables. – Trois figures directement semblables. – Questions de l’Intermédiaire des Mathématiciens.

TABLES DE RÉFÉRENCE (p. 1260 à 1302) Lexique géométrique. – Problèmes et théorèmes historiques. – Table des notes principales. – Questions nouvellement introduites. – Problèmes à constructions non géomé triques. – Index bibliographique. – Index biographique.

Tout, tout, tout, vous saurez tout sur la géométrie chanterait Pierre Perret…

Évidemment, avec ces 2000 questions résolues le panorama proposé n’est pas loin d’être exhaustif et laisse plus d’une fois dubitatif sur le caractère élémentaire de ladite géométrie !

Néanmoins l’intention de sérier, de classifier, de proposer une aide méthodologique dirait-on de nos jours, est atteinte et ouvre et éclaire le chemin de la recherche.

L’auteur adresse prioritairement son ouvrage aux « professeurs » dans le but qu’ils « enseignent  » ces rouages à leurs élèves afin que ces derniers puissent accéder par eux-mêmes à toute question, de celle qui est aisée à la plus délicate.

Il va sans dire que devant la somme des connaissances présentées, vous vous sentirez peut-être bien souvent, comme moi, plus élève que professeur.

Qu’à cela ne tienne, ça permet de rester jeune !!!

Bruno ALAPLANTIVE