"Faire faire" des mathématiques

pour contribuer efficacement à une formation scientifique

Jean Aymès [1]

Un formidable penseur de la résolution de problème

«  Faire faire » des Mathématiques pour contribuer efficacement à une formation scientifique [2]

Lors de l’une des dernières conversations que j’ai eue avec lui, Henri m’a raconté son parcours en Math Elem dans les années 40 : un professeur posant des problèmes, une classe composée de quatre élèves seulement, cela constituant un contexte particulièrement propice à l’émulation, à l’intensité des recherches. Son récit m’a fait comprendre que c’était intense !
Dans mon observation de son parcours, ce petit récit souligne une cohérence forte, la trajectoire d’une passion.
Henri a été passionné par la résolution de problèmes. Peut-être pas seulement pour elle-même, mais par ce qu’elle fait faire, ce qu’elle forge… Est-ce, en particulier dans son année de Math Elem que cela a émergé… ?

Étant, dans l’association, l’un des promoteurs de ce qui est devenu emblématique avec les huit moments de l’activité mathématique dont l’expression remonte au début des années 80, ce n’est pas pour lui une simple déclaration d’intention posant qu’il faut enrichir le travail de l’élève au-delà de ces productions achevées dominantes … le résoudre et le rédiger … On adhère le plus souvent au besoin d’exposer à des problèmes, mais cela dit, comment le faire en responsabilité, en efficacité ?
Il a intensément travaillé à faire connaître ce besoin, à l’argumenter mais surtout à l’illustrer avec un talent sans pareil. Il a contribué à ce que chaque professeur soit moins démuni face à une mise en œuvre effective de ces huit moments.

On s’enrichit en tant que professionnel de l’enseignement des Mathématiques en lisant ses écrits. On ne peut que vivement recommander cette lecture ou même une relecture des articles publiés depuis une vingtaine d’années (c’est encore partiel !). Leur somme cristallise une œuvre majeure en matière de résolution de problème. Elle constitue un référant professionnel de première importance pour tous les professeurs désireux d’asseoir une pratique.

Selon un mot qu’il affectionnait, même si elle apparaît circonscrite, proposons une recension :
1• « Méthodes générales pour résoudre des problèmes » avec Christiane ZEHREN, Classe de Seconde : un outil pour des changements, brochure APMEP n° 79, 1990
2• «  Variations sur un mini-problème de géométrie », B.V. de l’APMEP n° 432, jan-fév 2001
3• « Aires, symétries et partages », BV de l’APMEP n° 435, sept-oct 2001
4• « Construire un triangle connaissant deux angles et son périmètre » », BV de l’APMEP n° 439, mars-av 2002
5• «  Dans quel chapitre ? A quel niveau ? », BV de l’APMEP n° 440, mai-juin 2002
6• « Faire Maths de tout bois » avec Christiane ZEHREN, en deux articles, APMEP –PLOT n° 106 – nouvelle série n° 3, juillet-août-septembre 2003 et APMEP –PLOT n° 107 – nouvelle série n° 7, oct-nov-déc 2003
7• «  Des chameaux sans conflits ni confits », BV de l’APMEP n° 472, sept-oct 2007
8• « Des zigzags, des pavages et des constructions à partir des classes du Collège », BV de l’APMEP n° 473, nove-déc 2007
9• « Un maximum … sans dériver », BV de l’APMEP n° 474, jan-fév 2008
10• « A table - Au lycée ! … Au collège ! », BV de l’APMEP n° 475 mars-av 2008

Viviers illustrés de problèmes, ces textes, parmi tant d’autres, donnent à penser la résolution de problème, ils ont une forte valeur didactique. Essayons d’en relever les idées forces…
Pour lui, la résolution de problèmes est d’abord un moyen, une option éducative selon laquelle on n’apprend pas des mathématiques uniquement pour elles-mêmes ! Il y a un but supérieur, qu’il énonce comme valeur essentielle.
Relisons-le : «  J’ai, comme promis, essayé de dégager des compétences générales de mise en œuvre des contenus mathématiques. Objectif central à mes yeux, ces compétences s’allient à des capacités d’observation, d’initiative et d’imagination… » (6).
Ou encore :
«  Prétendre mettre des élèves en situation de recherche sans s’assurer qu’ils disposent d’un minimum de moyens intellectuels adéquats (qui se consolideront alors en boule de neige) serait lourd de conséquences pour ces élèves quant :
- au gaspillage de temps,
- à l’ancrage dans l’atonie intellectuelle,
- au découragement et à l’attitude en face des maths.
 » (1)
La conjonction d’une activité riche, stimulante et d’un accompagnement de l’élève face à cette complexité à laquelle on l’expose est pour lui une tâche essentielle du professeur.

Ainsi dans (1) : «  Allons-nous alors ou bien les exaspérer par une demande excessive ou bien les cantonner dans des tâches d’exécutants ? Nous échapperons à ce dilemme en leur faisant peu à peu connaître, reconnaître et utiliser des méthodes générales capables de dynamiser leurs connaissances et de susciter des associationsd’idées ou d’actions offrant de solides approches des problèmes posés. De là l’effort méthodologique que nous tentons ici —et qui n’a rien d’exhaustif—. »
Lecteur de Polya [3], de Coxeter [4], il apporte un lot formidable d’exemples analysés à ce propos. C’est le terreau nutritif d’une formalisation destiné à équiper réellement le jeune chercheur, le jeune professeur, ou le moins jeune [5] :
- identification et énonciation de méthodes générales,
- moyens méthodologiques « figures-clés », « concepts-clés », « formes » ou « représentations canoniques » [6], « situations-ressources » [7],
- apprentissage de la capacité à chercher, à s’interroger.

Il a ouvert l’horizon de maints problèmes en nous montrant combien peuvent en être multiples les approches.
Rien de tel pour entrer dans son territoire intellectuel où les méthodes s’organisent, surgissent inattendues, nous apprennent…
Sa construction d’un triangle dont on connaît les médiatrices dans (6) en est un bel exemple, revisitons cela…

Construire un triangle dont on donne les trois droites-médiatrices
Trois droites D, D’, D’’ sécantes en un point I sont données, construire un triangle ABC les admettant comme médiatrices.

- 1 Méthode par essais-rectifications : Essayer un point A …
On construit B son symétrique par rapport à D’’, puis C le symétrique de celui-ci par rapport à D ; en utilisant A’ symétrique de C par rapport à D’, nous devrions avoir A = A’, ce qui, sauf miracle, n’est pas (et si miracle il y a, que se passe-t-il en bougeant A ?).
Mais alors, corrigeons ! … par exemple, en prenant comme nouveau point A le milieu $A_{1}$ de [AA’]…

- 2 Méthode du « sherpa »
« Elle améliore la méthode des essais-rectifications, au moins en géométrie. » (1)
Reprenons en escortant A d’un autre point a. D’où, par les réflexions successives, les points b, c, a’. On sait que Aa = A’a’. Donc pour avoir A = A’ il faut et il suffit que A soit sur la médiatrice (qui passe par 0) de [aa’].

- 3 « Susciter des autonomies »
« … L’art de concéder ou de susciter des autonomies pour conjuguer ensuite … » (1) On se donne d’abord une droite-côté … soit d = (BC). Les droites d et d’ respectivement symétriques par rapport à D’ et D’’ se coupent au point A …
Car on ne perd pas de vue que : « il y a encore lieu d’entraîner au réflexe : si un point est sur une ligne, son image par … est sur la ligne-image. »

- 4 Un abandon provisoire
Relisons (6) : « Je ne m’intéresse d’abord qu’aux droites-côtés. Je connais leurs directions, orthogonales aux médiatrices correspondantes.
Je construis ainsi, où je veux, un triangle A’B’C’ dont les médiatrices sont parallèles aux droites imposées.
Soit I’ leur point de concours.
Il suffit alors de la translation amenant I’ sur I pour obtenir un triangle ABC solution.
 »

- 5 Un savoir efficace
La composée de trois symétries (par rapport aux droites D, D’, D’’ est une autre symétrie, d’axe $\Delta$. passant par I. Dès lors il faut et il suffit que A soit pris sur $\Delta$.

On trouvera ci-après le problème « cadeau » abordé dans cet esprit lorsque sont données les droites-bissectrices.

Cette quête imaginative est une recherche de fécondité [8]. Ainsi qu’il l’écrit dans un manuscrit de mai 1987 alors que la classe de Seconde est sur le tapis de la réforme : « … en général, le professeur oriente vers une méthode, qui devient « la » méthode … Et ce n’est pas toujours la plus féconde. Par exemple, à propos du problème du triangle des médiatrices données, on oriente d’habitude vers le « triangle médial », dont les droites imposées sont les hauteurs …, méthode fort peu généralisable et qui fait un peu prestidigitation … ».

Il ne fait donc pas preuve d’un simple talent de collectionneur, il s’agit, pour lui, de penser les méthodes en ce qu’elles ont de formateur, de ré-exploitable dans d’autres situations. L’effort de mise en évidence, de recension lucide forge la capacité à trouver. La lecture des articles évoqués suffit à l’illustrer.

La capacité à résoudre transcende pour lui le savoir qui fait résoudre. C’est, à mon sens, une façon de renforcer l’idée qu’on apprend pour se former, s’épanouir, devenir acteur social… Il s’est attaché à bousculer les niveaux de résolution d’un problème. Cela revient constamment dans ses écrits, ses interventions.
Dans (6) : « Il peut exister, pour résoudre un problème, de belles ou « savantes » méthodes … Mais, s’il ne m’en vient pas à l’esprit, est-ce une raison pour ne rien faire ? » A l’occasion de la remise de Légion d’Honneur, par une conversation avec un de ses camarades de classe, j’ai compris que c’était un étudiant lutteur, attaché même à ce que ses copains sa battent aussi, n’abandonnent jamais ! Les houspillant en ce sens au besoin !
Il nous a alimenté en méthodes de résolution aptes à fonctionner quand on ne sait pas bien … il n’est que de lire les titres des articles évoqués : (5), (9), 10). Il nous invite à considérer les attentes des programmes comme un tout, non segmenté par année … Il faudrait, par exemple, se remémorer, sa vision des questions de proportionnalité de l’Ecole à l’Université !
Attaché à cultiver une maîtrise de l’information, il n’a eu de cesse de ciseler sa réflexion sur le langage (les langages … courant, mathématique), sur l’impact des textes d’énoncés, sur la recherche de documentation et d’information qu’il voulait bien plus largement déployée à propos des Mathématiques. Pour illustrer le moment « se documenter » [9], il cite dans (6) une attitude consistant à exploiter le théorème de Ceva parce qu’on en dispose par documentation et non pas par programme ! Dès que les premières calculatrices sont apparues au début des années 70, je me souviens qu’il en proposait déjà un emploi comme ressource culturelle … à explorer … Cette idée devait s’étendre ensuite à la bibliothèque de ces nombreuses publications, actuellement plus abondantes, à propos de mathématiques … Puis vinrent ses mentions à des sites numériques …

C’est que savoir est important - bien sûr, surtout, me semble-t-il, au sens de ce savoir lui-même et de ce qui le fait fonctionner, on a vu qu’il agissait pour cela -, mais d’autre part l’accès au savoir, la capacité d’accès au savoir le sont d’autant plus … En cela, c’est l’engagement des élèves qu’il veut promouvoir.

Lutteur donc, et sous une sorte de paradoxe. Il s’est battu sa carrière entière pour l’écriture des programmes (où « la loi protège le faible », citant éventuellement Montesquieu), au profond de sa pratique, de sa réflexion, il intègre un éclatement de ce cadre ! Un tel dépassement est naturel chez lui !
Je relie cela à une conception de ce que c’est qu’être humain : rien n’est définitif, pas plus définitivement fermé ou désespéré, un horizon peut être ouvert, où on peut avancer, améliorer, enrichir … Son attitude en matière de résolution de problème ne procède-t-elle pas de tout son être humain ?
Comment ne pas voir en cela l’induction d’un effet de motivation, d’intérêt accru des élèves pour les mathématiques
Tel énoncé de lycée, il le considère avec de jeunes collégiens, selon des objectifs renouvelés ; c’est bien ce qui a lieu, entr’autres, avec le triangle des médiatrices …

Ou encore dans (2). Après l’énoncé d’un problème de géométrie (travail sur les aires découpées dans un demi-cercle par deux autres demi-cercles intérieurs construits sur un diamètre du premier, la somme des deux derniers diamètres étant égale au diamètre du premier), il présente plusieurs solutions, en analysant les diverses méthodes. Ensuite, il transfère le problème sur d’autres figures en remplaçant les demi-cercles par des triangles ou des ellipses, il le généralise grâce à l’affinité, puis il propose une structure interne qui "épouse" les diverses figures.
En conclusion, il en donne une exploitation possible suivant les classes, de la Sixième à la Terminale.

C’est ainsi qu’il insista pour que soit cité dans le programme de troisième 1985 une approche graphique de problèmes d’extremum non résolubles à ce niveau par le calcul (par exemple, la façon de découper des coins carrés dans une plaque rectangulaire pour obtenir un pavé de volume maximal). Cela voulait induire un comportement d’organisation d’essais, de leur exploitation … Il y tenait particulièrement.

Garder toujours disponibles des moyens d’attaque des problèmes, même ceux qui paraissent désuets, tel est bien le propos … il plaide par exemple pour qu’on n’oppose pas « mesurage » et « preuve » … son analyse du problème de l’araignée se mouvant sur un parallélépipède est à relire (6) … et nous surprend !

Œuvrant à ouvrir des pistes pour inspirer des problèmes, il veut que les professeurs agissent sur leurs énoncés, les critiquent, les reconstruisent, les inscrivent dans le projet de formation générale. Un exemple éloquent avec le « La ballade au pays des nombres », cette intervention qu’il fit lors du séminaire A.P.M.E.P. de mai 1993.

Reposant sur un dossier manuscrit mis à la disposition des participants, cette ballade a visité :
- des énoncés invitant à une démarche inductive ; comme ci-dessous une observation conduit à formuler une généralisation : conjecture, problème … mise en valeur de méthode …

Par exemple, un problème souvent évoqué en d’autres textes ou interventions [10] :

C’est faire vivre la capacité à conjecturer.
En l’occurrence, il illustre éloquemment le rôle du choix de l’inconnue … « en choisissant comme inconnue l’entier « médian » on voit apparaître immédiatement simplifications et regroupements ainsi qu’une loi générale d’obtention de cet entier … ».

- sous le label « observer », des énoncés singuliers provoquant le lecteur … Ainsi les facétieux « nombres A.P.M. »
Nombres « A.P.M. ». En voici 16325 ; 34721 ; 12347 ; 52163 ; 90341 ; 50381.
Et voici des nombres « non-A.P.M. » : 2564 ; 12345 ; 854 ; 12635 ; 34325 ; 45026. Citer les « A.P.M. de : 72521 ; 72341 ; 70523 ; 4562 ; 13562 ; 52 703.
Ou cet autre :
Compléter la suite 102 ; 105 ; 111 ; 114 ; 120 ; 123 ; 129 ; a ; b ; c ; d ; e ; 201 ; 204 ; 210 ; 213 ; 219.
Eric suggère a = 132, Rachel a = 141, Léa b = 138, Yves b = 147 …

- puis des exercices « très simples », par exemple

- •Chiffre des centaines de
- • Dénombrement de nombres palindromes.
- • Somme de cinq entiers consécutifs ; si elle vaut 155, si elle vaut n …
- • Plus petit entier positif qui peut s’écrire sous la forme xy, y pouvant prendre toute valeur entière de 1 à 10 inclus ? [Serait-ce $2^{2520}$ ?].

Savoir s’étonner, … de l’engendrement des problèmes
henri-tout-seul A partir de questions traditionnelles, il a forgé de beaux problèmes. Et nous apprenons à le faire avec lui. Cela procède d’un art de l’interrogation … sa contribution à la petite brochure « Pour un renouvellement de l’enseignement des Mathématiques au Collège » (janvier 1985) est à cet égard une référence … il faudrait pouvoir tout reprendre …
Prenons un exemple … ses variations sur les distances … Partant de l’étude des points du plan équidistants de deux points A et B donnés, il suggère [11] d’imaginer de nouvelles études en variant la nature des éléments en jeu ; en géométrie plane :
- la distance à un point fixe, des lieux traditionnels attachés au cercle
- la distance d’un point à une droite, lieux des points dont la distance à une droite est conditionnée (lignes de niveau)
- la distance d’un point à une droite, droites dont la distance à un point fixe est conditionnée
- la distance d’un point à un segment … où émerge un processus de généralisation de définition (distance comme minimum)
- la distance d’un point à une paire de points … ceux-ci étant fixes, quelle est sa détermination, qu’en sont les lignes de niveau
- la distance d’un segment à un point … à l’inverse du cas précédant …
- de là de multiples questions d’équidistance :

  • de points à deux points
  • de points à un point et une droite
  • de droite à deux points
  • de points à un point et un segment
  • de points à un point et une paire de points
  • etc …
Les intentions sont diverses : ouvrir un cadre de travail porteur d’imagination pour les élèves (le thème est à vrai dire inépuisable, il parle de « problèmes-valises »), vraisemblablement porteur de motivation, se confronter à des problèmes susceptibles d’enclencher les moments de l’activité mathématique, mettre en œuvre des formes de raisonnement peu sollicités (ici, le régionnement, la disjonction de cas), faire vivre la démarche de généralisation (c’est éloquent aussi dans les articles évoqués, on réfléchit à la nature des objets mathématiques), pointer des solutions hors de sentiers battus (par exemple un lieu peut ne pas être une ligne, une condition d’égalité peut conduire à un lieu qui n’est pas une ligne …) … Dans (1) : soit trois points fixes A, B, C. Définissons, point un point M : sa distance d à la paire des points A, B comme la plus courte des distances MA et MB ; de façon analogue sa distance à la paire de points B, C. Quel est l’ensemble des points M tels que d = d’ ?
C’est un bon réinvestissement du régionnement du plan par la médiatrice d’un segment ! Il oblige à considérer quatre types de position de M …. Et on trouve un ensemble (qui n’est pas une ligne !) formé … par l’union d’un secteur angulaire et d’un demi-droite.

Quelques questionnements, ainsi qu’on les trouve dans la petite brochure « Pour un renouvellement de l’enseignement des Mathématiques au Collège » (janvier 1985) :
- les données ayant été analysées, quels sont les invariants ? quels sont les liens entre les diverses variables et les invariants ?
- comment triompher de certaines contraintes ? Voir (4)
- comment caractériser et identifier des être mathématiques ?
- comment réaliser, interpréter, exploiter des représentations ?
- les caractères « nécessaire » et « suffisant » étant clairement distingués, quand s’agit-il de l’un ou de l’autre, ou des deux ?
- un problème étant traité, quel est le problème réciproque ?
- que se passe-t-il si on change de référentiel ?
- que se passe-t-il si on change une donnée, ou plusieurs ? Voir les « variations sur la distance ».
- qu’advient-il d’une configuration fixe si on lui donne des degrés de liberté ?
- peut-on généraliser ?
- peut-on étendre des résultats ?
- comment évaluer, donner des ordres de grandeur ?
- comment optimiser une démarche
-  …

Ses sources de problèmes sont la marque de l’intensité de son activité : son expérience personnelle de professeur, ses réflexions et collaborations comme acteur de l’élaboration des programmes, son rôle pivot dans les publications de l’association, sa connaissance des tournois et rallyes de tous ordres, des thèmes ayant une attache historique, ses liens avec les amis étrangers (association belge, américaine, …) … sans oublier son rôle puissant pour la publication des annales des Olympiades académiques de Mathématiques.

Les problèmes s’établissent selon des lignées … il travaille à mettre à l’honneur l’art du « problème précédent » [12] … celui de relier des problèmes.
Un exemple avec le problème point de départ : maximum du produit de deux nombres lorsque leur somme est constante.
Déjà, pour ce simple problème, Henri met en valeur une méthode économe. C’est sa fameuse « comparaison au champion présumé », voir (1) ainsi que (9). Soient x et y tels que x+y = a donné, si agit de manière à conjecturer un maximum de x(a-x) pour x= a/2, il s’agit de fait de comparer x(a-x) et $a^{2}/4 $… Y pense-t-on suffisamment ?
Puis le problème est dans une lignée ; d’après (1) :
- l’aîné, que se passe-t-il pour $x^{2} +y^{2} $… qui vaut $(x+y)^{2}- 2xy$ … si on n’a pas tenté un emploi de « champion »
- des cadets … outre la forme x(a-x) elle-même, $x^{2}(a-x^{2})$, $x^{3}(a-x^{3})$ …
- encore $ (7-3x)(4+5x)=15(\frac{7}{3}-x)(\frac{4}{5}+x)$ … donc un maximum …
- et même 8x(4+x) = -8(-x)(4+x) ou (3x-7)(4+5x) = -15( …) (…) … de là cette fois des minima …
- en lien avec un problème d’aire maximale à périmètre constant etc …
- dans le cadre géométrique, deux exemples pris dans (1) :

* choisir D sur [AB] pour que l’aire MEAD soit maximale ?
Soit AB = R et AD = x, l’aire vaut $x \sqrt{R^{2}-x^{2}) $ … dont le carré est fait partie de la « famille » !
============================================

* Comment choisir M pour que le parallélogramme MEBF ait une aire maximale ?
Par homothéties : aire(AFM) + aire(CEM) = constante.
$(AM^{2} + CM^{2})$ … ce qui nous ramène à « un problème précédent » !

Revoir encore son développement, en situation cette fois, dans (2), ses « Variations sur un mini-problème de géométrie » Dès lors, son (9) « Un maximum … sans dériver » étudie le maximum de $f(x ; y) = x^{2} y^{2} (x^{2}+ y^{2})$ lorsque x+y = 2 où une symétrie aide à transformer … grâce à x= 1-a et y = 1+a …

Du géométre ! … au bonheur des Mathématiques
Au delà du plaisir de chercher, de la joie de trouver, c’est l’approche d’un « pourquoi ? » plus profond qui l’anime … l’essentiel « est d’abord dans la prise de conscience d’une idée-force TRANSFERABLE de la démonstration faite » (6). Cela croise une sensation de plénitude … «  une telle unification n’es-t-elle pas euphorisante ? » (6) dont-il n’a de cesse de vouloir l’éprouver avec les élèves.

Avec de semblables intentions, il a exploré divers domaines des Mathématiques. Rappelons, par exemple, son action pour faire évoluer l’enseignement des statistiques dès les années 70 … ses écrits pour alerter sur l’éducation à la lecture des représentations graphiques méritent attention.
Il a beaucoup plaidé pour un enseignement de géométrie conséquent. S’il est géomètre, pourquoi ne pas dire que c’est au sens ancien désignant le mathématicien ?
Cette prédilection pour la géométrie est peut être d’abord le fait de son parcours personnel, de son combat professionnel, à une époque clé – particulièrement par ce qui a trait à l’enseignement au Collège - . La géométrie est centrale, me semble-t-il, pour lui. « Elle me paraît, de la sixième à la première, un domaine privilégié pour la mise en œuvre des huit « moments » de la formation scientifique. », dans (6). Ou dans (5) : « …la pluralité soulignée ici montre déjà à quel point la géométrie la plus élémentaire peut offrir des espaces de liberté et de recherche, d’imagination et de créativité … méthodiques ! »
S’il veut des contenus consistants, les plus fondamentaux possible, ce n’est pas simplement d’un point de vue déclaratif dans les programmes qu’il a tellement modelés mais en ce qu’ils traduisent en appropriations multiples par les jeunes … Son « plaidoyer » pour la géométrie, n’est-il pas aussi une manière d’affirmer que le difficile choix des savoirs à enseigner se rattache à la formation générale que l’on vise, à la puissance de dépassement dont il est porteur …

Est-il, dès lors, meilleure conclusion que la sienne formulée dans (2) …
« L’intérêt pratique de la situation n’est pas évident ! [13] Mais son étude ne va-t-elle pas bien au-delà ? Elle a fait émerger tant de problèmes, tant d’approches, de recoupements, d’extension exemplaires ! Ces émergences mêmes, la façon de les susciter, de les accompagner et de les exploiter ne sont-elles pas au cœur d’un enseignement qui l’ambition d’être transférable ? Il s’est agi, tout au long, d’être à l’écoute des situations, d’en débattre, de se référer à des savoirs fondamentaux ou de les créer, d’imaginer, de saisir et d’exploiter des analogies, de rechercher la substance même des choses … Il doit d’ailleurs apparaître que nous ne sommes sûrement pas allés au bout, qu’il n’y a pas de « bout », … qu’il n’y a que des approfondissements successifs … Une telle formation me semble une école de pensée, de jugement, de capacité de se créer, donc de liberté, c’est-à-dire une école de vie. Dès les années de collège ou d lycée, elle contribuera à armer nos élèves pour affronter au mieux aussi bien les problèmes de la vie courante et citoyenne que ceux inhérents aux plus essentiels questionnements de l’humain.
De quoi mettre en évidence le profond intérêt de l’enseignement des Mathématiques !
 ».

ANNEXE : Le problème présent...

C’est le " cadeau " préparé pour Nicole T. et Jean F. le 7 février 1993 : Henri considérait, en effet, qu’on pouvait offrir un beau problème à des amis.

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[1] ancien élève d’Henri et IA-IPR honoraire de mathématiques

[2] Selon un propos pris dans un article d’Henri

[3] Par exemple : « Comment poser et résoudre un problème ? », Georges POLYA, réédition Jacques Gabay

[4] Par exemple : « Redécouvrons la géométrie », Harold Scott Macdonald COXETER et Samuel L. GREITZER, réédition Jacques Gabay , qu’il mentionne régulièrement dans ses bibliographies

[5] Reconnaissons que sa lecture nous apprend à chercher

[6] par exemple, déploiement de périmètre dans (4), diverses autres sommes de longueurs dans (1)

[7] ainsi classements de propriétés des configurations (de divers points de vue, configuration, transformations…), méthodes-types de raisonnement, « il s’agit d’un terrain pour permettre d’appliquer des méthodes » dans son manuscrit « vers de futures secondes » mai 1987

[8] Voir « vers de futures secondes » page 25

[9] Plot

[10] Ses interventions en tant que formateur, alors jeune retraité, auprès des professeurs stagiaires C.P.R., puis I.U.F.M., en situation, formation continue …

[11] c’est bien aux élèves qu’il suggère de le chercher ! Poser un problème est un apprentissage scolaire !

[12] au sens, pouvant atteindre le ridicule, de l’histoire narrée par Paul Painlevé au début du XXème siècle sur le problème de l’eau à faire bouillir

[13] Extremum sur les aires découpées dans un demi-cercle par deux autres demi-cercles intérieurs construits sur un diamètre du premier, la somme des deux derniers diamètres étant égale au diamètre du premier.