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Fonctions sans primitive

Véronique Cerclé [1]

Résumé de l’article

En TS, on montre que le fait d’être continu est une condition suffisante pour qu’une fonction admette des primitives. Cet article s’intéresse au problème d’une condition nécessaire pour qu’une fonction admette des primitives. On se place dans le cadre de fonctions définies sur un intervalle fixé [a,b]. L’article analyse la notion de fonction "primitivable" et donne les deux formulations du théorème de Darboux. Ensuite, il revient sur la "propriété des valeurs intermédiaires "nécessaire pour être primitivable", et il étudie la fonction de Darboux. Il termine par un tableau récapitulatif des divers cas. Une annexe propose un exemple de fonction discontinue ayant une primitive et une fonction de Darboux n’ayant pas de primitive.

Plan de l’article

  • Une fonction n’ayant pas de primitive, mais soulevant des questions...
  • Trois théorèmes de TS autour de la continuité
  • Cas de la réciproque du TH2 : une fonction non continue peut-elle vérifier $P_0$ ?
  • Cas de la réciproque du TH3 : une fonction non continue peut-elle avoir des primitives ?
  • Enquête sur la notion de fonction « primitivable »
  • Retour sur la « propriété des valeurs intermédiaires » (PVI) nécessaire pour être primitivable : fonction de Darboux
  • Conclusion
  • Annexe

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Notes

[1Professeur au Lycée Jean Moulin de Pézenas ;
veronique.cercle@ac-montpellier.fr
avec la participation de Louis-Marie Bonneval.

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