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GÔDEL

par Pierre Cassou-Noguès.

Collection Figures du savoir – Éditions Les
Belles Lettres – 2004.
190 pages en 13,5 × 21
ISBN : 2-251-76040-7. Prix : 15 € .

Il ne s’agit pas d’une biographie de Gödel
(l’auteur résume sa vie en une demi-page et
renvoie à une biographie complète, par J.W.
Dawson, par une note page 14), mais d’une
présentation de « l’œuvre logique et les analyses philosophiques qui la prolongent »,
ainsi que de ses rapports avec les conceptions
passées et contemporaines, de Platon et
Descartes à Turing et Russell.

Structure de l’ouvrage :
Repères chronologiques
Introduction
Chap. 1 : Gödel dans la bibliothèque de
Babel
Chap. 2 : Gödel dans l’histoire des sciences
Chap. 3 : Le théorème d’incomplétude
Chap. 4 : 1934/1937 La calculabilité
Chap. 5 : 1938 L’hypothèse du continu
Chap. 6 : 1958 Le fondement de l’arithmétique
Conclusion
Notice des principales figures évoquées
Bibliographie

Cet ouvrage est une merveille de clarté et de
pédagogie
. Il parvient à mettre à la portée de
tout lecteur un tant soit peu scientifique (tout
adhérent de l’APMEP, par exemple) des
notions hautement abstraites ; fait remarquable, il ne se contente pas d’énoncer de
façon rigoureuse les résultats de Gödel (dont
nous avons tous entendu parler plus ou moins
vaguement) mais il en fournit les démonstrations. En particulier le « raisonnement
de la diagonale
 » est utilisé plusieurs fois
dans des contextes différents, si bien qu’en
fin de lecture il est devenu presque aussi
familier qu’un raisonnement par l’absurde ou
une récurrence. C’est ce raisonnement (dû à
Cantor) qui montre que les réels ne sont pas
dénombrables : supposant que les réels, écrits
chacun comme une suite infinie de chiffres,
sont numérotés (c’est-à-dire mis en bijection
avec les naturels), pour tout $n$ naturel, on
appelle $x_n$
la $n$-ième décimale du $n$-ième réel.
On construit alors un réel C en choisissant
pour sa $n$-ième décimale : 1 si $x_n = 0$ , 0 si
$x_n \neq 0$. C ne peut pas appartenir à la liste, car
il y figurerait avec un numéro $p$, et sa $p$-ième
décimale serait $x_p$ .
Ce même raisonnement est à la base du paradoxe de Richard (page 21), on le retrouve
dans la définition de la calculabilité et des
machines de Turing (page 84) et plusieurs
autres fois dans l’ouvrage.
L’importance de la notion de définition
imprédicative
(i.e. qui caractérise un objet
en fonction d’un ensemble auquel il appartient) est également mise en lumière.
Le grand théorème d’incomplétude est lui-même démontré de façon, sinon évidente, du
moins lisible et convaincante.
La fin de l’ouvrage est de tendance plus philosophique, sans qu’il y ait jamais rupture de
point de vue. On y voit Gödel arriver à la
conclusion que l’esprit mathématicien n’est
pas réductible à une machine de Turing, en ce
que, contrairement à celle-ci, il « se comprend lui-même », et qu’il est capable de progrès ; et rejoindre le platonisme, selon lequel
il existe une réalité mathématique indépendante de nos constructions. Il commence sur
la fin de sa vie une théorie des concepts,
restée inachevée et un peu floue, mais néanmoins prometteuse.
On ressort de cette lecture avec l’impression
euphorisante d’avoir accédé à un cercle supérieur de la pensée.
Seul petit regret : l’absence d’extraits de
textes originaux de Gödel, qui auraient pu
montrer au profane dans quel langage se font
les échanges à ce haut niveau.

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