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Géométrie dans la rue : mesure d’un bâtiment avec les étudiants

Claude Archer [1]

Résumé.

« Mais Monsieur, un triangle dans la rue ce n’est pas la même chose que sur le papier ». Cette remarque d’un étudiant résume bien le fossé qu’il peut y avoir entre la géométrie en classe et sa signification pratique. Si un étudiant arrive à résoudre des triangles sur une feuille de 10 cm, ne croyez pas pour autant qu’une fois face à un bâtiment, il acceptera que sa méthode puisse lui donner sa hauteur réelle. Un triangle suspendu dans les airs à 30 mètres, inaccessible et dont on ne peut pas tracer les côtés à la craie, c’est effectivement de l’abstraction pure. Le défi relevé par les étudiants de l’Institut Cooremans à Bruxelles est le suivant : un géomètre professionnel prête son matériel et par équipes de cinq ils doivent calculer la hauteur du paratonnerre de l’école. La base étant inaccessible, des triangulations seront nécessaires. Voici le récit de la mise en œuvre de ce projet et des obstacles rencontrés. Nous le complétons par une réflexion sur l’enseignement par ce type de projet.

1. Contexte pédagogique

Une école supérieure de commerce à Bruxelles. Des étudiants qui commencent un diplôme de 3 ans en sciences administratives. À quoi peut bien leur servir un cours de Mathématiques ? Nouvel engagé, je ne pouvais malheureusement pas compter sur mon prédécesseur pour m’éclairer : « Va voir sur Internet, il y a plein de choses » fut sa réponse, version moderne de « Va te faire … ». Apparemment personne ne se souvenait du rôle de ce cours qui ne semblait coordonné à aucun autre. La surprise suivante est venue du niveau des étudiants. Parler d’une Haute École de commerce à des collègues français, évoque immédiatement pour vous HEC et les grandes écoles françaises. Chers collègues détrompez-vous, si l’école dont je vous parle forme effectivement des ingénieurs commerciaux, ce n’est pas de ce public que je vais vous entretenir. Mes étudiants constituent un public bien différent. Leurs niveaux en Mathématiques sont des plus hétéroclites. Si certains maîtrisent encore l’analyse des fonctions, beaucoup d’autres ne voient plus du tout comment ils pourraient résoudre une équation du premier degré. Majoritairement issus de milieux modestes, beaucoup ont très peu confiance en eux-mêmes et aucune confiance en leurs capacités mathématiques.

Les Maths, c’est utile, promis juré !

J’ai d’abord vainement tenté de leur montrer des applications pour les convaincre de l’utilité des Mathématiques. Par exemple, en partant des équations de droite dans le plan, montrer qu’il y a moyen d’ajuster une droite à des données observées (régression linéaire). Par un changement de variable, leur montrer qu’il y avait moyen d’ajuster des exponentielles, des polynômes à des données observées (régression non linéaire). Comme récompense, on fait ensuite des extrapolations ou des interpolations sur l’évolution des populations, la date de floraison d’une fleur au printemps, etc. Pour être honnête, l’aspect concret de ces applications ne leur a pas sauté aux yeux. Je ne me sentais pas très fier de ces leçons. Pire, une étudiante fragile psychologiquement était régulièrement prise de crises de nerfs dès qu’elle perdait le fil de mes explications. J’ai été un peu traumatisé de la voir se rouler par terre, renverser son banc et se frapper la tête.
Il fallait que je trouve un moyen de les intéresser, de les impliquer et de leur redonner confiance dans leurs capacités mathématiques. De plus la formation de ces étudiants ne contenait que deux cours de Mathématiques. Pourquoi ne pas se faire plaisir au lieu de respecter un programme qui n’avait pas de suite dans leur formation ?

Un défi stimulant : la hauteur du sommet du paratonnerre

Ma belle-mère, professeur de lycée, m’avait raconté le succès des leçons où les étudiants mesuraient la hauteur de l’école par son ombre au sol. Selon la légende, Thalès de Milet aurait fait de même avec la pyramide de Gizeh.
Un collègue de néerlandais se souvenait de son admiration pour le calcul du rayon de la terre par Érathosthène en utilisant l’ombre mesurée à la même heure en deux villes éloignées.
N’ayant pas en hiver et en Belgique, les conditions d’ensoleillement, je projetais de mesurer la hauteur de l’école en mesurant au rapporteur des angles de visée. Avec un tube en pvc et un fil à plomb accrochés à une planche graduée en angles, je proposais aux étudiants de relever le défi. Voici comment se présente notre établissement, l’Institut Cooremans et la place Anneessens sur laquelle il se trouve. Quelle est la hauteur du sommet du paratonnerre (le point noir en haut de la photo en figure 1) ?

Figure 1 : L’Institut Cooremans et la place Anneessens

Pour déduire cette hauteur h à partir d’un angle de visée a, il faut pouvoir, au sol, mesurer la distance d entre le point d’où l’on vise et la verticale passant par le point visé. Comme il est difficile de coller son œil au sol pour viser, notre viseur (rapporteur) se trouve à la hauteur $h_C$ par rapport au sol. À l’aide d’un fil à plomb on marque à la craie le point du sol se trouvant à la verticale du viseur. Ce point servira de point de départ pour mesurer d au sol. Archer-2

On obtiendra alors $h = h_C + d . tan(\alpha)$

Cette méthode ne posa pas de problème de compréhension à mes étudiants. Elle ressemble à ce qu’aurait utilisé Thalès pour mesurer la pyramide. Mais dans notre cas, la mesure de d n’est pas accessible : le point visé n’est pas sur la façade du bâtiment, le sol du bâtiment est plus haut que le niveau de la place et l’escalier en pierre empêche l’accès à la façade. Le point D à la verticale du paratonnerre est donc un point virtuel inaccessible suspendu dans la cave de l’école. Pour s’en sortir, il nous faut remplacer la mesure directe par deux mesures indirectes et résoudre des équations du premier degré pour retrouver h.

2. Premiers essais : de Thalès à Roméo et Juliette

Pour motiver ce principe en classe, imaginons que Roméo cherche une échelle pour monter au balcon de la belle Juliette situé au point A. Il doit connaître la hauteur h de ce balcon. Malheureusement entre la façade et le point B il y a des rosiers ....

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[1] Haute école Francisco Ferrer. E-mail : claudearcher@yahoo.fr