par Claude Tricot.
Ellipses, octobre 2008.
439 pages en 16,5 × 24.
ISBN : 978-2-7298-4045-7.

L’ouvrage se propose de donner les bases
de l’analyse fractale, dont les premiers éléments ont été introduits il y a une bonne
centaine d’années et qui fournit maintenant
l’ingrédient essentiel de modèles dans de
nombreuses disciplines.

Il comporte cinq parties :
 I. Orbites et systèmes itérés.

• 1. Orbites et points fixes (Dynamique
  d’une fonction, orbites d’une application
  linéaire dans le plan, dynamiques associées).
• 2. Topologie métrique (Distance, normes et
  convexité, applications contractantes).
• 3. Attracteur d’un système d’applications
  (Distance de Hausdorff, orbites dans l’espace
  des compacts, dynamique d’un système
  de fonctions itérées).
• 4. Géométrie des attracteurs (Connexité,
  attracteurs dans R, R2, RD, autosimilarité).

 II. Dimension de Minkowski-Bouligand.

• 5. Recouvrement par boules et boites
  (Saucisse de Minkowski, dimensions fractales
  d’ensembles particuliers).
• 6. Pavage du complémentaire (sur la droite,
  dans le plan, dimension extérieure).

 III. Mesures et dimensions d’ensembles.

• 7. Mesures en général (Mesures de Borel,
  intégrale, quelques mesures connues).
• 8. Mesures et dimension de Hausdorff
  (Mesures de recouvrement, dimension de
  recouvrement, …).
• 9. s-Stabilité et empilements (Réseaux et
  dimensions de boîtes, …, mesures et
  dimensions d’empilement).
• 10. Ensembles réguliers et irréguliers
  (Courbes rectifiables, densités locales de
  mesures, produits cartésiens, …).

 IV. Analyse fractale de mesures.

• 11. Mesures et fonctions (Projections et
  similitudes, attracteur de mesure, orbites
  aléatoires, ergodicité, …).
• 12. Dimension et analyse d’une mesure
  (Dimension et spectre d’une mesure de
  Besicovitch, analyse multifractale, spectre
  des grandes déviations, …).

 V. Annexes.

• 13. Quelques lemmes utiles (Ordre de croissance,
  recouvrement, Frostman, Borel-
  Cantelli, transformée de Legendre, …).
• 14. Solution des exercices.
  Chacun des treize premiers chapitres comporte
  de dix à trente exercices dont certains
  sont de véritables problèmes et dont la
  solution détaillée fait l’objet du chapitre
• 13. Les candidats au CAPES ou à l’agrégation
  et les enseignants y trouveront
  nombre de sujets de réflexion.

L’ouvrage se conclut par une bibliographie
couvrant tout le vingtième siècle, une table
des notations et un index.

Sa lecture est facilitée par le rappel dans les
premiers chapitres des notions utiles dans
le contexte concerné et dans le souci que
partage l’auteur avec Blaise Pascal de ne
pas «  guinder l’esprit ». Saluons aussi la
qualité de la typographie et des nombreuse
figures dues à l’auteur, en particulier du
cahier central en couleurs qui permet à lui
seul de convaincre un vaste public de la
beauté des mathématiques.

Un magnifique outil de travail pour étudiants
et enseignants curieux.

Paul-Louis HENNEQUIN