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Géométrie et mesures fractales, une introduction.

- 10 novembre 2009 -

par Claude Tricot.
Ellipses, octobre 2008.
439 pages en 16,5 × 24.
ISBN : 978-2-7298-4045-7.

L’ouvrage se propose de donner les bases de l’analyse fractale, dont les premiers éléments ont été introduits il y a une bonne centaine d’années et qui fournit maintenant l’ingrédient essentiel de modèles dans de nombreuses disciplines.

Il comporte cinq parties :
- I. Orbites et systèmes itérés.

  • 1. Orbites et points fixes (Dynamique d’une fonction, orbites d’une application linéaire dans le plan, dynamiques associées).
  • 2. Topologie métrique (Distance, normes et convexité, applications contractantes).
  • 3. Attracteur d’un système d’applications (Distance de Hausdorff, orbites dans l’espace des compacts, dynamique d’un système de fonctions itérées).
  • 4. Géométrie des attracteurs (Connexité, attracteurs dans R, R2, RD, autosimilarité).

- II. Dimension de Minkowski-Bouligand.

  • 5. Recouvrement par boules et boites (Saucisse de Minkowski, dimensions fractales d’ensembles particuliers).
  • 6. Pavage du complémentaire (sur la droite, dans le plan, dimension extérieure).

- III. Mesures et dimensions d’ensembles.

  • 7. Mesures en général (Mesures de Borel, intégrale, quelques mesures connues).
  • 8. Mesures et dimension de Hausdorff (Mesures de recouvrement, dimension de recouvrement, …).
  • 9. s-Stabilité et empilements (Réseaux et dimensions de boîtes, …, mesures et dimensions d’empilement).
  • 10. Ensembles réguliers et irréguliers (Courbes rectifiables, densités locales de mesures, produits cartésiens, …).

- IV. Analyse fractale de mesures.

  • 11. Mesures et fonctions (Projections et similitudes, attracteur de mesure, orbites aléatoires, ergodicité, …).
  • 12. Dimension et analyse d’une mesure (Dimension et spectre d’une mesure de Besicovitch, analyse multifractale, spectre des grandes déviations, …).

- V. Annexes.

  • 13. Quelques lemmes utiles (Ordre de croissance, recouvrement, Frostman, Borel- Cantelli, transformée de Legendre, …).
  • 14. Solution des exercices. Chacun des treize premiers chapitres comporte de dix à trente exercices dont certains sont de véritables problèmes et dont la solution détaillée fait l’objet du chapitre
  • 13. Les candidats au CAPES ou à l’agrégation et les enseignants y trouveront nombre de sujets de réflexion.

L’ouvrage se conclut par une bibliographie couvrant tout le vingtième siècle, une table des notations et un index.

Sa lecture est facilitée par le rappel dans les premiers chapitres des notions utiles dans le contexte concerné et dans le souci que partage l’auteur avec Blaise Pascal de ne pas «  guinder l’esprit ». Saluons aussi la qualité de la typographie et des nombreuse figures dues à l’auteur, en particulier du cahier central en couleurs qui permet à lui seul de convaincre un vaste public de la beauté des mathématiques.

Un magnifique outil de travail pour étudiants et enseignants curieux.

Paul-Louis HENNEQUIN