par Renaud Chorlay

Hermann, 2015.

366 pages en 16 x 23. Prix : 45 €.

ISBN : 978-2-7056-8106-7.

Ce livre est un ouvrage d’histoire des mathématiques,
mais histoire des idées et non des
personnes : ici, pratiquement aucun élément
biographique sur les protagonistes. On y
trouve 13 textes originaux, traduits si nécessaire
par R. Chorlay : trois de Hermann
Weyl, six d’Élie Cartan, un de Otto Schreyer,
un de Heinz Hopf, un de William Threlfall
(d’après Marston Morse), un d’Oswald
Veblen et John Whitehead. Ils sont classés,
par ordre approximativement chronologique,
en huit chapitres, comportant chacun une
présentation, le ou les textes-sources et des
notes et compléments :

• I. Hermann Weyl : Géométrie purement infinitésimale.
• II. Hermann Weyl : Le problème de l’espace.
• III. Nouvelles recherches en théorie des
  groupes.
• IV. Élie Cartan : Espaces généralisés et repère
  mobile.
• V. Élie Cartan : Géométrie et topologie.
• VI. Heinz Hopf : Géométrie différentielle et
  forme topologique.
• VII. Le calcul des variations globales selon
  Morse.
• VIII. Veblen et Whitehead : Un ensemble
  d’axiomes pour la géométrie différentielle.

Outre les commentaires de R. Chorlay, les
compléments contiennent de larges extraits
d’autres écrits des auteurs cités, mais aussi
de Poincaré, Klein, Hessenberg, Hilbert,
Engel, Killing et quelques autres, dont certains
antérieurs ou postérieurs à la période
indiquée. L’ouvrage est complété par une
volumineuse bibliographie.

Cette lecture est exigeante ; entrer dans tous
les détails nécessite pour le lecteur un solide
bagage dans les domaines mathématiques
étudiés, ou au moins en calcul différentiel,
géométrie projective, topologie, théorie des
groupes. La complexité des notations est
extrême (indices en haut et en bas, à droite et
à gauche, parfois une même lettre a des significations
différentes selon qu’elle est droite
ou en italique), le vocabulaire n’est pas toujours
identique au nôtre (« continu » pour
« connexe », « fini » pour « borné », …) et de
plus un certain nombre d’erreurs typographiques
rendent certaines formules incohérentes
(confusion de d avec δ, de $x_i$ avec $x_1$,
omission de caractères ). Les figures sont
rares, et un Index fait cruellement défaut.

Cependant ce livre est à conseiller vivement,
d’une part aux spécialistes des domaines
mathématiques étudiés, qui y trouveront un
regard historique inédit (de nombreux textes
n’existaient qu’en allemand), ainsi qu’aux
chercheurs en histoire des mathématiques ;
d’autre part à tous ceux qui, acceptant d’être
parfois un peu perdus, peuvent s’intéresser
au développement rapide de théories sous la
pression des problèmes de physiciens : le
moteur essentiel est la recherche d’un cadre
mathématique pour l’expression de la
Relativité Générale (ce qui ne va pas sans
quelques impasses : Weyl a cru un certain
temps avoir unifié les théories de la gravitation
et de l’électromagnétisme), mais les
mathématiciens sont rapidement sortis du
cadre de l’espace-temps de dimension quatre
pour étudier les espaces non-euclidiens de
dimension n quelconque ; théories qui parfois
rejoignent une réflexion philosophique
sur la nature de l’espace.