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Géométrie vivante ou L’échelle de Jacob.

par Marcel Berger.
Cassini, juin 2009.

988 p. en 16x23,5. 70 €.

ISBN 978-2-84225-035-5.

Marcel Berger, qui est bien connu d’une
génération au moins de membres de
l’APMEP par son « Géométrie » paru initialement
chez CEDIC en 1978 et fréquemment
réédité, est depuis plus de quarante ans
l’animateur d’une très active école française
de Géométrie. C’est lui qui, quand il était
directeur de l’Institut des Hautes Études
Scientifiques, le Princeton français de
Bures sur Yvette, a su détecter le talent de
Mikhaïl Gromov, aujourd’hui prix Abel de
mathématiques et abondamment cité tout au
long de ce traité, et le convaincre de rester
à Paris.

Ce monumental ouvrage rassemble de nombreux
problèmes de géométrie, toujours
non résolus qui, pour être bien compris,
ont nécessité l’utilisation de nouveaux
outils abstraits souvent conçus dans
d’autres buts. Ces notions conceptuelles
sont construites chacune au dessus de la
précédente et évoquent l’échelle de Jacob
de la Genèse, posée sur la terre et dont le
sommet touche le Ciel qui illustre la couverture.
Or la géométrie qui tient aujourd’hui
une place dominante dans la civilisation
de l’image est de plus en plus comprimée
dans l’enseignement secondaire et cela
inquiète à juste titre l’auteur.

Les problèmes ont été groupés par affinité,
ressemblance ou nature, de sorte que chaque
chapitre peut se lire indépendamment.

Contrairement à la « Géométrie », il ne
contient pas de démonstrations détaillées,
mais expose, pour le plus grand bonheur
des agrégatifs et capésiens, les idées forces
et les concepts utilisés.

Avant sa parution, son architecture et sa
présentation ont été testés avec bonheur
dans plusieurs universités étrangères.

Détaillons le contenu de chaque chapitre
qui comporte de nombreux exemples
empruntés à la vie courante ou à des disciplines
variées et qui s’achève par une
rubrique XYZ où sont rassemblés précisions
et commentaires et une bibliographie
à la fois historique et contemporaine.

 I. Points et droites dans le plan.
Sylvester, géométrie affine ; géométrie
projective ; le cas complexe ; arrangements
d’hyperplans.
 II. Cercles et sphères.
Configurations de cercles ; inversions ;
groupes conformes ; fractals ; inversion
dans l’espace ; géométrie globale des
cercles et sphères ; empilements hexagonaux
 ; baderne d’Apollonius.
 III. La sphère pour elle-même ; comment
bien y repartir des points ?

Impossibilité de bien repartir des points
sur $S^2$ (applications : électrons, virologie,
matière condensée) ; « dressing number »
en dimension quelconque.
 IV. Coniques et quadriques.
Avant Descartes ; naissance de la géométrie
algébrique ; philosophie de Klein ; les
polygones de Poncelet ; les 3 624 coniques
de Chasles…
 V. Les courbes planes.
Théorème de Jordan ; classification des
courbes géométriques ; invariants euclidiens,
théorème des quatre sommets et
application à la physique ; inégalité isopérimétrique
 ; cubiques et courbes elliptiques
 ; géométrie d’ordre fini.
  VI. Les surfaces lisses.
Problème du plus court chemin ; surfaces
riemanniennes ; forme locale des surfaces,
la fabrication des billes ; courbure totale et
courbure moyenne ; bulles de savon.
 VII. La convexité et les convexes.
Fonctions convexes, exemples, opérations
sur les convexes ; volume et aire ;
théorème de Brunn-Minkowski et inégalité
isopérimétrique ; méchanceté d’un
convexe ; volume des tranches ; phénomène
de concentration de Paul Lévy.
 VIII. Polygones, polyèdres, polytopes.
Polyèdres euclidiens ; polytopes ($d\geq4 $)
 IX. Réseaux, empilements et pavages dans
le plan.

Points de $\mathbb Z$ ; empiler des cercles ; paver le
plan (cristallographie, tremblements de terre) ; pavages apériodiques ; pavages
hyperboliques.
 X. Réseaux et empilements en dimensions
supérieures.

La conjecture de Kepler ; codes correcteurs
d’erreur.
 XI Géométrie et dynamique I : les
billards.

Polygones rationnels et irrationnels ;
billards concaves, hyperboliques, convexes
 ; concepts et langage des systèmes
dynamiques ; ergodicité ; entropie.
 XII. Géométrie et dynamique II : le flot
géodésique sur une surface.

Exemples et contre-exemples ; trajectoires
périodiques ; Récapitulation des questions
ouvertes.

L’ouvrage se termine par un index des noms
propres (6 p.), un index thématique (33 p.)
et un index des notations (5 p.)

Écrit dans un style très agréable et très
direct, il est enrichi d’anecdotes savoureuses,
de nombreuse figures, souvent
faites à main levée et de magnifiques et pertinentes
photographies nous plongent
dans l’ univers du géomètre et en font un
livre merveilleux à garder sous la main dans
sa bibliothèque, sachant qu’il constitue une
mine d’idées et d’exercices pour convaincre
notre entourage que les mathématiques sont
bien vivantes.

Paul-Louis HENNEQUIN

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