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HISTOIRE ET ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES

Rigueurs, erreurs, raisonnements

Paul Louis Hennequin

- 24 juillet 2012 -

sous la direction d’Evelyne Barbin et Dominique Bénard. Institut National de Recherche Pédagogique, Lyon, nov. 2007.

335 p. en 16 × 24

ISBN : 978-2-7342-1087-0.

26 €.

Cet ouvrage a été mis au point à la suite du seizième colloque inter-IREM tenu les 19 et 20 mai 2006 à l’IREM de Clermont- Ferrand qui constituait le point d’une recherche menée par l’INRP et les IREMs pendant quatre ans sur l’épistémologie et l’histoire des mathématiques dans la formation mathématique.

Les exposés sont regroupés, plus ou moins arbitrairement, suivant quatre thèmes :

Rigueurs

É. Barbin. Les discours de l’évidence mathématique.
Évidence visuelle et évidence logique : les éléments d’Euclide ; évidence logique et évidence des choses : la méthode cartésienne ; évidence visuelle et évidence calculatoire : les cartésiens Arnaud et Lamy ; vérité et évidence : la question de la démonstration ; évidence cinétique et évidence calculatoire : le traité de Poncelet de 1822 ; l’évidence langagière : le mémoire de Gergonne de 1826.

R. Bkouche. Les démonstrations du postulat des parallèles.
Retour sur les éléments d’Euclide ; la somme des angles d’un triangle ; une démonstration de Thibaut ; les premières démonstrations ; Wallis et la similitude ; les démonstrations par l’absurde ; quadrilatère d’Ibn AL-Haytham ; quadrilatère d’Umar Al-Khayyam ; Saccheri ; Lambert ; Legendre ; démonstrations utilisant des grandeurs infinies ; appendices.

A. Boyé. Entre formalisme, rigueur et sens.
Un siècle d’enseignement de l’analyse (1902-2002) : les réformes de 1902-1905, modifiées 1925-1931 ; un siècle s’est écoulé : majorer, minorer, approcher.

M. Zerner. À propos de la démonstration mathématique qu’il faut faire payer les pauvres.
Un article du Monde comme point de départ ; généralités sur les théories néoclassiques : et que peut-on faire avec cet arsenal ? ; le modèle de Brennan et Buchanan.

Expériences et preuves géométriques

J. Aspra, A-M. Marmier et I. Martinez. De l’étude des solides à la construction de l’espace.
Point de vue historique, éléments d’Euclide et tradition euclidiennne ; XVIIe et XVIIIe, Legendre ; XIXe, Rouché-Comberousse ; manuels scolaires de la première moitié du XXe, regard sur la situation actuelle ; annexe.

J.-P. Escoffier, G. Hamon, L. Le Corre et P. Quinton. Fragments d’histoire des fondements de la géométrie plane.
L’axiomatisation de la géométrie dans les Éléments d’Euclide ; la connaissance scientifique selon Aristote ; Antoine Arnauld : rigueur et enseignement au XVIIe siècle.

M.-N. Racine, Géométries.
Différentes manières de les enseigner : les Sulbasutras ; la géométrie d’Euclide ; la géométrie de Marolois ; les éléments de géométrie de Clairaut.

Multiplicité des points de vue

R. Chorlay. La multiplicité des points de vue en Analyse élémentaire comme construit historique.
Présentation de la problématique ; deux exemples, croissance et maximum ; points de vue en Analyse et points de vue sur les fonctions ; perspectives pédagogiques.

J-P. Friedelmeyer. Le théorème de clôture de Poncelet, une démonstration « imparfaite » qui fait toute une histoire.
Le théorème de clôture de Poncelet par Poncelet ; l’homologie ; le principe de continuité, objets idéaux et objets imaginaires ; logique de la démonstration de Poncelet ; quel avenir pour les idées novatrices de Poncelet ? ; à la recherche d’une caution géométrique pour les fonctions ellieptiques ; la démonstration de Jacobi à l’aide des fonctions elliptiques ; les travaux de Cayley ; la corrélation profonde entre la théorie des fonctions elliptiques et le théorème de clôture ; le principe de correspondance de Chasles (1864).

D. Tournès. Les méthodes graphiques dans l’histoire et dans l’enseignement.
Quelques considérations historiques sur la dialectique entre pensée géométrique et pensée algébrique ; la construction des équations par intersection de lignes ; un basculement soudain de la géométrie vers l’algèbre ; la méthode d’Euler pour les équations différentielles ; les méthodes gra-phiques dans l’enseignement ; résolution des équations avec des droites, des cercles et une parabole fixe ; une version géométrique dynamique de la méthode d’Euler.

Raisonnements entre géométrie et algèbre

M. Moyon. La tradition algébrique arabe du traité d’Al-Khwârizmî au Moyen Âge latin et la place de la géométrie.
Les éléments d’Euclide : une interprétation algébrique du livre II ; le Mukhtasar d’ Al- Khwârizmî (780-850) ; le Kâmil d’Abû Kâmil (850-930) ; un élément de la tradition algébrique latine : le Liber Restauracionis.

S. Maronne. La question de la deuxième conique solution au problème de Pappus dans La Géométrie de Descartes.
Le problème de Pappus dans La Géométrie de 1637 ; l’énoncé, une solution moderne ; la solution de Descartes.

On vient de juger de la grande variété des problèmes et des méthodes abordés dans ce volume, à la fois dans une perspective historique et un questionnement didactique. Les textes sont clairs et agrémentés de belles figures et chacun est accompagné d’une bibliographie pertinente. Ils ne représentent pas toutes les contributions du colloque de Clermont ; d’autres vont être publiées en particulier par les IREM de Paris 7, Dijon et Strasbourg.

Un beau témoignage de la vitalité de la commission inter-IREM « Épistémologie et histoire des mathématiques » qui, par son travail depuis vingt–cinq ans, a complètement renouvelé et rajeuni les recherches et l’enseignement de l’histoire si riche de notre discipline encore trop ignorée de la majorité de nos étudiants.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)