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% Tapuscrit: Claire Lacaze
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
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\lhead{\small Baccalauréat L Mathématiques-informatique}
\lfoot{\small{Amérique du Nord -- juin 2001 }}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{Baccalauréat général  Amérique du Nord  }}

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - juin 2001}}

L'usage de la calculatrice  est autorisé.

\textbf{Le candidat doit traiter les  DEUX exercices}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

On veut comparer deux placements $P$ et $Q$ pour un capital de \np{10000} F.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Le placement $P$ est à intérêts simples à $6\,\%$ : c'est-à-dire que chaque année les intérêts produits sont constants et égaux à $6\,\%$ du capital initial.

\item[$\bullet$] Le placement $Q$ est à intérêts composés à $4,5\,\%$ : c'est-à-dire qu'à la fin de chaque année les intérêts produits sont capitalisés (ajoutés au capital).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $u_n$ le capital obtenus dans le placement $P$ au bout de $n$ années et $v_n$ celui obtenu dans le placement $Q$ au bout de $n$ années. et égaux à $6\,\%$ du capital initial.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le capital obtenu pour le placement $P$ au bout de $2$ ans, puis au bout de $4$ ans.
		\item Mêmes questions pour le placement $Q$.
		
(Tous les résultats seront arrondis au centime)
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? de la suite $(v_n)$ ? Justifier les réponses.
\item On veut déterminer au bout de combien d'années le capital $v_n$ dépassera le capital $u_n$. Pour cela, on utilise un tableur et on réalise le tableau suivant :

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}

\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{center}
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{gristab}}c|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\rowcolor{gristab}&{A}&{B}&{C}\\
\hline
&Durée du placement&Capital obtenu avec&Capital obtenu avec\\
1&en années&le placement $P$&le placement $Q$\\
&{$n$}&{$u_n$}&{$v_n$}\\
\hline
2&{$0$}&{$\np{10000}$}&{$\np{10000}$}\\
\hline
3&{$1$}&&\\
\hline
4&{$2$}&&\\
\hline
\end{tabularx}\\
\end{center}

\vspace{0,2cm}

Les colonnes sont repérées par les lettres : A, B, C,\ldots les lignes par des numéros 1, 2, 3, 4, \ldots

Ainsi, par esemple la référence B3 repère la cellule se trouvant à l'intersection de la colonne B et de la ligne 3.
\begin{enumerate}
\item Quelle formule de calcul pouvez vous saisir en B3 ? en B4 ?
\item Mêmes questions pour C3, puis C4.
\item À l'aide d'une calculatrice, déterminer à partir de combien d'années le capital obtenu avec le placement $Q$ sera supérieur à celui obtenu avec le placement $P$. Justifier en donnant les résultats numériques nécessaires.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
 
 \textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 10 points}
 
 \medskip
 
Sur le dessin ci-après reprenant une carte au $1/ 25\,000$ ($1$ unité pour $250$ m) représentant un littoral marin, le relief est représenté par des lignes de niveau ou des lignes de même profondeur. L'altitude ou la profondeur de chacune des lignes est indiquée sur la carte, en mètres.

On choisit un repère orthonormal de l'espace tel que l'axe des abscisses Ouest-Est et l'axe des ordonnées Sud-Nord se coupent à la pointe des Orques $(O)$. Le troisième axe, des cotes (ou altitudes) est orienté du bas vers le haut et n'est pas représenté sur la carte.

On a indiqué sur la carte les positions dun phare $(P)$, d'un bateau ancré au large $(B)$ et d'une épave $(E)$ qui repose sur le fond de la mer.


emph{Les coordonnées et les distances seront exprimées en mètre avec une précision de $25$ m sauf l'altitude qui sera donnée avec une précision de $5$ m.}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'altitude du phare $P$ à sa base ? du bateau $B$ ?
		\item Quelle est la profondeur de l'épave $E$ ?
	\end{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées $(x_P\,;\,y_P\,;\,z_P)$  de $P$ ? $(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B)$  de $B$ ? et $(x_E\,;\,y_E\,;\,z_E)$  de $E$ ?
\item Un robot sous-marin $(R)$ a été immergé à partir du bateau. Quelques minutes plus tard le robot transmet sa position par ses coordonnées : $(625\,;\,-1250\,;\,-25)$. Le commandant du bateau la note alors sur la carte par le point $R$.
	\begin{enumerate}
		\item En mesurant la distance $RE$ sur la carte, puis en utilisant l'échelle, déterminer la valeur correspondante en mètres.
		\item Représente-t-elle la distance effective entre le robot et l'épave ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-6)(9,4)
\psset{dotscale=0.1,unit=0.75cm}
\psgrid[gridwidth=0.4pt,griddots=10,subgriddots=10,subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(-2,-7)(11,4)
\psset{gridcolor=gray,gridlabels=0,labels=none}

\psset{linewidth=.7\pslinewidth}%il manque ,,labelsep=2.5showorigin=false,
\pstGeonode[PosAngle=-135,PointSymbol=+](0,0){O}
\pcline[arrowsize=5pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.4){$\vec{\imath}$}
\pcline[arrowsize=5pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.3,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
\pstGeonode[dotscale=1.5,PosAngle=15,PointSymbol=*](8,-0.5){B}
\pstGeonode[dotscale=1.5,PosAngle=0,PointSymbol=*](2,-5.5){E}
\pstGeonode[dotscale=1.5,PosAngle=20,PointSymbol=*](1,3.5){P}
\pscurve(11,-6.4)(10.5,-6.2)(10,-6.2)(8.5,-5.85)(8,-5.9)(6.5,-6)(4.5,-6.15)(1,-5.55)(-0.2,-5) %ligne niveau -200 dte
\put(-1,-4.9){\scriptsize{$-200$}}
\pscurve(-.9,-4.64)(-1.5,-4.22)(-2,-3.7) %ligne niveau -200 gche
\pscurve(11,-5.4)(10.5,-5)(9,-4.5)(7.5,-4.2)(5,-5)(3.8,-4.8)(2.5,-4.3)(0.5,-4.5)(-0.2,-3.85) %ligne niveau -150 dte
\put(-1,-3.7){\scriptsize{$-150$}}
\pscurve(-.7,-3.3)(-1.5,-1.75)(-2,0) %ligne niveau -150 gche
\pscurve(11,-1.2)(9.4,-1.7)(8,-1.5)(7,-1.6)(5.5,-3.3)(2.2,-3.1)(1,-3.15)(0.3,-3)(-0.7,-1.85) %ligne niveau -100 dte
\put(-1.2,-1.7){\scriptsize{$-100$}}
\pscurve(-0.90,-1.3)(-0.93,-1)(-0.95,0.4)(-1.5,1)(-2,2) %ligne niveau -100 gche
\pscurve(11,3.2)(9.3,2.4)(9.6,1)(8,1.2)(6.1,1.15)(5.9,0.9)(5.3,0)(3,-1.2)(2,-1.18)(-0.4,-1.2)(-0.6,0)(-0.78,2.15)(-0.83,2.35) %ligne niveau -50 dte
\put(-1.4,2.5){\scriptsize{$-50$}}
\pscurve(-1.2,2.9)(-1.7,3.4)(-2,4) %ligne niveau -50 gche
\pscurve(10,4)(8.8,3.35)(7.4,3.5)(7.6,2.97)(6.5,3)(5.3,3.6)(5,3.6)(4,3.4)(5,1.7)(4,-.2)(3.7,-0.32)(3.2,0)(2.7,0.25)(1,0.20)(0.15,-.05)(-0.25,1)(0.05,1.65)(-0.16,2.39) %ligne niveau 0 dte
\put(-0.4,2.5){\scriptsize{$0$}}
\pscurve(-0.5,2.7)(-0.6,2.8)(-0.8,3.35) %ligne niveau 0 gche
\pscurve(-1,3.85)(-1,3.9)(-1.4,4) %ligne niveau 0 gche
\pscurve(8.4,4)(6.4,3.7)(5,4)(3.8,4)(3,2.5)(2.1,2)(1.05,2.4) %ligne niveau 50 dte
\put(0.7,2.5){\scriptsize{$50$}}
\pscurve(0.6,2.8)(0.4,3.6)(-0.4,4) %ligne niveau 50 gche
\pscurve(2.75,3.8)(2.8,3.9)(2.9,4) %ligne niveau 100 dte
\put(2.1,3.5){\scriptsize{$100$}}
\pscurve(2.05,3.35)(1.4,3.15)(1,3.4)(0.7,4) %ligne niveau 100 gche
%\pstGeonode[PointSymbol=none](6,-7.5){G}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](7,-7.5){H}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](8,-7.5){K}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](9,-7.5){L}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](10,-7.5){M}

\pstLineAB[arrowsize=0.3]{<->}{M}{G}\aput*{:D}{$1000$ m}
\pstLineAB{|-|}{H}{K}
\pstLineAB{-|}{K}{L}
\psline{<->}(6,-7.5)(10,-7.5)
\uput[u](8,-7.5){\np{1000} m}
\put(10.3,0.3){Est}
\put(-2.7,0.3){Ouest}
\put(-1.3,3.5){Nord}
\put(-1,-6.8){Sud}
\psaxes{-}(0,0)(-2,-7)(11,4)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 