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%Tapuscrit : J. C. Souqué
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\lhead{\small Baccalauréat 1L mathématiques--informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{ Corrigé Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{7 juin 2010}}
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\begin{center}    {\Large \textbf{Baccalauréat Mathématiques--informatique\\ Corrigé Amérique du Nord 7 juin 2010}} 
\end{center}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip

Le tableau en \textbf{annexe 1} contient la répartition des élèves de Terminale L suivant leur spécialité en France à la rentrée 2007.

\medskip
 
%Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats à 0,1\:\% si besoin est.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  La formule que l'on peut écrire dans la cellule B8 afin de calculer l'effectif total des filles en Terminale L, puis par recopie vers la droite afin de compléter la ligne 8 est : \fbox{=somme(B\,4:B\,7)}
		\item   alors la cellule F8 contient : \fbox{=somme(F\,4:F\,7)}
		\item voir annexe.
	\end{enumerate}
	 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Les garçons de Terminale L  sont $ \np{7000}+\np{300}+
\np{2700}+\np{1100}~=~\np{11100}$, ceux qui ont choisi 	\og Langues vivantes \fg{} sont \np{7000}. Le pourcentage est alors de $\dfrac{\np{7000}}{\np{11100}}=\np{0.631}=\np{63.1}\,\%$
		\item %Les cellules E4 à E8 sont au format pourcentage.
		 
 \textbf{Toutes} les formules qui, placées en E4 et recopiées vers le bas, permettent d'obtenir automatiquement les pourcentages attendus
sont :
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
& \fbox{=D4/\$D\$8}&\fbox{=D4/\np{11100}}&\fbox{=D4/D\$8}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item Voir le tableau sur la feuille annexe.
	\end{enumerate} 
\item À la rentrée 2006, il y avait \nombre{57000}~élèves en Terminale L. Le pourcentage d'évolution du nombre d'élèves en Terminale L entre 2006 et 2007 est \[ \frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}} =\frac{\np{55000}-\np{57000}}{\np{57000}}=-\np{0.035}=-\np{3.5}\,\%.\]
 
En un an, le nombre d'élèves en Terminale L a baissé de \np{3.5}\,\%.
\item En 2005, le nombre d'élèves en Terminale L était de \nombre{59000}. On définit la suite $\left(a_{n}\right)$ de la manière suivante :

pour tout entier positif $n,~ a_{n}$ est le nombre d'élèves en terminale L à la rentrée de l'année $2005 + n$.
 
On a donc $a_{0} = \nombre{59000},~a_{1} = \nombre{57000}$ et $a_{2} = \nombre{55000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  La suite $\left(a_{n}\right)$ n'est pas géométrique car le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant : $\frac{\np{57000}}{\np{59000}}\approx \np{0.966}$ et $\frac{\np{55000}}{\np{57000}}\approx \np{0.965}$. 
		\item  On fait l'hypothèse que la suite $\left(a_{n}\right)$ est arithmétique.  Si cette suite est arithmétique, alors la différence $a_1-a_0=a_2-a_1= - \np{2000}$. La raison de la suite est $- \np{2000}$. 

Le terme général d'une suite arithmétique étant : $u_n = u_0 + nr$, par conséquent $a_n = \np{59000} - \np{2000}n$. 
		\item  En 2014, $n=2014-2005=9$ ; le nombre d'élèves en Terminale L à la rentrée 2014  serait $a_9=\np{59000}-\np{2000}\times 9=\np{59000}-\np{18000}=\np{41000}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points}

\medskip
 
Une entreprise qui produit du chocolat, fabrique des tablettes de 100~grammes. Au début de l'année 2010, elle décide de prélever un échantillon dans sa production afin d'en vérifier la masse.

\medskip
 
Les résultats sont consignés en \textbf{annexe 2}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La masse moyenne $\mu$, exprimée en grammes, des tablettes de cet échantillon est :\[\mu=\frac{96\times 5+97\times 6+98\times 9+ \cdots+102\times 5+103\times 4}{5+6+9+13+32+16+5+4}=\frac{\np{8969}}{90}\approx\np{99.7}\]  
		\item On admet que l'écart-type $\sigma$ de cette série est environ égal à $1,6$. 

Déterminons le pourcentage des tablettes de chocolat dont la masse est dans l'intervalle $[\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma]$. 

$[\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma]=[\np{99.7}-2\times \np{1.6}~;~\np{99.7}+2\times \np{1.6}]=[\np{96.5}~;~\np{102.9}]$.

 Il y a 81 tablettes dont la masse appartient à [\np{96.5}~;~\np{102.9}] soit un pourcentage de $\frac{81}{90}=\np{0.9}=90\:\%$
 
Ce résultat n'est pas en cohérence avec un modèle gaussien car dans cet intervalle $[\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma]$, nous devrions avoir 95\:\% des valeurs.
	\end{enumerate} 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item \begin{itemize}
				\item la médiane  est une valeur qui partage la série en deux parties de même effectif. Il y a 90 valeurs, nous prendrons pour médiane le centre de l'intervalle médian. La 45\ieme{}  valeur est 100, la 46\ieme{}  100 aussi donc \fbox{M$_e$ =100}
				\item  Le premier quartile $Q_1$ est la valeur du caractère dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à $\frac{N}{4}$. 
				$\frac{N}{4}=\frac{90}{4}=22,5$. La 23\ieme{}  valeur est 99 d'où \fbox{$Q_1=99$}.
				\item  Le troisième quartile $Q_3$ est la valeur du caractère dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à $\frac{3N}{4}$. 
				$\frac{3N}{4}=\frac{3\times 90}{4}=67,5$. La 68\ieme{}  valeur est 101 d'où \fbox{$Q_3=101$}.
				\end{itemize}
				
		\item  Voir le diagramme en boîte correspondant sur \textbf{l'annexe 3} en dessous de l'axe.

		\item Un échantillon de même taille a été prélevé fin 2009, son diagramme en boîte se trouve également en annexe 3.
		 
la valeur du minimum est 95,5, du maximum 102,5, $Q_1=97$, $Q_3=101,5$  et  celle de la médiane est 98. 
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item En fin 2009, environ trois-quarts des tablettes de chocolats avaient une masse supérieure à $98$~g. Faux, car la médiane vaut 98 par conséquent seulement 50\:\% environ ont une masse supérieure à 98~g
		\item L'écart interquartile a été réduit de plus de moitié entre fin 2009 et début 2010. Vrai
		en 2009 l'écart interquartile $Q_3-Q_1=\np{101.5}-97=\np{4.5}$\\
		en 2010 l'écart interquartile $Q_3-Q_1=\np{101}-99=2$
				\item Le consommateur qui achète des tablettes produites par cette entreprise en fin 2009 peut se sentir lésé. Vrai  la moitié des tablettes ont une masse inférieure à 98~g.
	\end{enumerate} 
\item Cette entreprise a produit $10$~tonnes de chocolat en 2009 et espère augmenter sa production de 5\:\% chaque année. Par conséquent chaque année sa production sera multipliée par $1,05$.
 
Pour tout entier positif $n$, on note $p_{n}$ la production (exprimée en tonnes) lors de l'année $2009 + n$. On a donc $p_{0} = 10$. 
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(p_{n}\right)$ est une suite géométrique car chaque terme se déduira du précédent en le multipliant par $\np{1.05}$ 
		\item  Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_0=q^n$.  $p_{n}=10\times \np{1.05}^n $. 
		\item En 2015, $n = 2015 - 2009 = 6$ d'où $p_6 = 10\times \np{1.05}^6\approx \np{13.4}$. La production sera de \np{13.4} tonnes environ.
		 

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXES à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}
 
\begin{flushleft} \textbf{ANNEXE 1 :} Rentrée 2007
\end{flushleft}

\medskip
{\small{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4.03cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
	&A &B &C &D &E &F\\ \hline 
1 &\textbf{Enseignement de spécialité} &\multicolumn{2}{|c|}{Filles}&\multicolumn{2}{|c|}{Garçons}& Total\\ \hline 
2& &Effectifs& En\:\%& Effectifs& En\:\%&\\ \hline 
3 &\textbf{Série Littéraire}&&&&&\\ \hline 
4 &Langues vivantes& \nombre{28000} &63,8\:\% &\nombre{7000}&\np{63.1}\:\%& \nombre{35000}\\ \hline 
5 &Langues anciennes &900 &2,1\:\% &300&\np{2.7}\:\%& \nombre{1200}\\ \hline 
6 &Arts &\nombre{9800}& 22,3\:\%& \nombre{2700}&\np{24.3}\:\%& \nombre{12500}\\ \hline 
7 &Mathématiques& \nombre{5200} &11,8\:\% &\nombre{1100}&\np{9.9}\:\%& \nombre{6300}\\ \hline 
8 &\textbf{Total Terminale L}&\np{43900}& 100,0\:\% 	&\np{11100}&100,0\:\% &\nombre{55000}\\ \hline
\end{tabularx}
}}
\medskip 
 
\vspace{1cm}

\begin{flushleft} \textbf{ANNEXE 2}
\end{flushleft}

\vspace{0,5cm}

Masse des tablettes de chocolat

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Masse (en grammes)& 96 &97 &98 &99 &100 &101 &102 &103\\ \hline 
Effectif &5 &6 &9 &13 &32 &16 &5 &4\\ \hline
Eff cum croissant&5&11&20&33&65&81&86&90\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft} \textbf{ANNEXE 3}
\end{flushleft}


\medskip

\psset{unit=0.705cm}
\begin{pspicture*}(0,-1)(17,6.5)
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\end{center}
\end{document}